Как можно выразить вектор МК через векторы ДА и ДС, если на сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСД отмечены точки М

Murchik

54

Чтобы выразить вектор МК через векторы ДА и ДС, мы можем воспользоваться свойствами векторов и использовать пропорциональность отношений АМ:МВ и ВК:КС. Давайте пойдем поэтапно:

1. Сначала найдем вектор ДВ. Так как В - точка пересечения диагоналей параллелограмма, то вектор ДВ будет равен сумме векторов ДА и ДС: \(\overrightarrow{ДВ} = \overrightarrow{ДА} + \overrightarrow{ДС}\).

2. Затем найдем вектор МВ. Используем пропорциональность АМ:МВ = 3:4. Записываем это с помощью уравнения: \(\overrightarrow{АМ} + \overrightarrow{МВ} = \frac{3}{4} \cdot \overrightarrow{АВ}\). Заменяем вектор АМ на \(\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{МВ}\) и решаем уравнение: \(\overrightarrow{МВ} = \frac{3}{4} \cdot \overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АМ}\).

3. Теперь найдем вектор КС. Аналогично, используем пропорциональность ВК:КС = 2:3: \(\overrightarrow{ВК} + \overrightarrow{КС} = \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{ВС}\). Заменяем вектор ВК на \(\overrightarrow{ВС} - \overrightarrow{КС}\) и решаем уравнение: \(\overrightarrow{КС} = \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{ВС} - \overrightarrow{ВК}\).

4. Наконец, найдем вектор МК. Заметим, что вектор МК это разность векторов МВ и ВК: \(\overrightarrow{МК} = \overrightarrow{МВ} - \overrightarrow{ВК}\).

Теперь, объединим все найденные значения и выразим вектор МК через векторы ДА и ДС:
\(\overrightarrow{МК} = \overrightarrow{МВ} - \overrightarrow{ВК} = \left(\frac{3}{4} \cdot \overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АМ}\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{ВС} - \overrightarrow{ВК}\right)\). Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
\(\overrightarrow{МК} = \frac{3}{4} \cdot \overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АМ} - \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{ВК}\).

Таким образом, мы получили выражение для вектора МК через векторы ДА и ДС:
\(\overrightarrow{МК} = \frac{3}{4} \cdot \overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АМ} - \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{ВК}\).

Я надеюсь, что этот подробный ответ поможет вам лучше понять, как выразить вектор МК через векторы ДА и ДС в данной задаче. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы или требуется дополнительное объяснение, пожалуйста, сообщите мне.