Какова длина отрезка BC, если известно, что точка D находится на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, точка

Лунный_Ренегат

4

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора, поскольку у нас имеется прямоугольный треугольник ABC. Теорема Пифагора утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть длина катета AC равна x, а длина отрезка BC равна y. Поскольку отрезки DE и BC параллельны, то отрезок DE также является катетом треугольника ADE.

Так как BD равно DE, а AE равно 5 дм (или 0,5 м), то получаем следующую систему уравнений:

\[BD = DE\]
\[AE = 0,5\ м\]
\[EC = x\]

Мы знаем, что сумма квадратов длин катетов AC и BC равна квадрату длины гипотенузы AB. Поэтому:

\[x^2 + y^2 = AB^2\]

Нам нужно найти длину отрезка BC, поэтому нам нужно определить значение y.

Обратимся к треугольнику ADE. Учитывая, что BD равно DE, мы можем записать следующее:

\[BD = DE = \frac{0,5}{2} = 0,25\ м\]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ABC, чтобы получить уравнение:

\[x^2 + y^2 = AB^2\]

Так как точка D находится на гипотенузе AB, а точка E находится на катете AC, мы можем использовать соотношение между катетами BD и AD:

\[BD^2 + AD^2 = AB^2\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[0,25^2 + (0,5 + x)^2 = (x + y)^2\]

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

\[0,0625 + 0,25x + 0,25^2 = x^2 + 2xy + y^2\]

Учитывая, что BD равно DE и AE равно 0,5 м, мы можем записать, что:

\[0,25 = x + y\]

Мы можем заменить \(x + y\) в уравнении выше и решить его относительно переменной \(x\):

\[0,0625 + 0,25x + 0,25^2 = x^2 + 2x(x + 0,25)\]

Упрощая уравнение, получаем:

\[0,0625 + 0,25x + 0,25^2 = x^2 + 0,5x + 0,5x + 0,25\]

Опять упрощая, получаем:

\[0,0625 + 0,25x + 0,0625 = x^2 + x + 0,25\]

\[0,125 + 0,25x = x^2 + x + 0,25\]

Теперь приведем уравнение в квадратичную форму, вычитая \(0,25x\) и \(0,125\) с обеих сторон:

\[x^2 + x + 0,25 - 0,25x - x - 0,125 = 0\]

\[x^2 - 0,25x - 0,125 = 0\]

Используя квадратное уравнение, мы можем решить его с помощью дискриминанта:

\[D = (-0,25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,125) = 0,0625 + 0,5 = 0,5625\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня уравнения:

\[x_1 = \frac{-(-0,25) + \sqrt{0,5625}}{2 \cdot 1} = \frac{0,25 + 0,75}{2} = 0,5\ м\]

и

\[x_2 = \frac{-(-0,25) - \sqrt{0,5625}}{2 \cdot 1} = \frac{0,25 - 0,75}{2} = -0,25\ м\]

Так как длина не может быть отрицательной, мы выбираем положительное значение:

\[x = 0,5\ м\]

Используя наше ранее уравнение \(x + y = 0,25\), мы можем выразить \(y\):

\[0,5 + y = 0,25\]

Вычитая \(0,5\) с обеих сторон, мы получаем:

\[y = 0,25 - 0,5 = -0,25\ м\]

Так как длина не может быть отрицательной, мы видим, что длина отрезка BC равна \(0,25\) метра.