Какова длина отрезка BC, если известно, что точка D находится на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, точка

Лунный_Ренегат

4

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора, поскольку у нас имеется прямоугольный треугольник ABC. Теорема Пифагора утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть длина катета AC равна x, а длина отрезка BC равна y. Поскольку отрезки DE и BC параллельны, то отрезок DE также является катетом треугольника ADE.

Так как BD равно DE, а AE равно 5 дм (или 0,5 м), то получаем следующую систему уравнений:

$$BD=DE$$
$$AE=0,5м$$
$$EC=x$$

Мы знаем, что сумма квадратов длин катетов AC и BC равна квадрату длины гипотенузы AB. Поэтому:

$$x^2+y^2=A{B}^2$$

Нам нужно найти длину отрезка BC, поэтому нам нужно определить значение y.

Обратимся к треугольнику ADE. Учитывая, что BD равно DE, мы можем записать следующее:

$$BD=DE=\frac{0,5}{2}=0,25м$$

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ABC, чтобы получить уравнение:

$$x^2+y^2=A{B}^2$$

Так как точка D находится на гипотенузе AB, а точка E находится на катете AC, мы можем использовать соотношение между катетами BD и AD:

$$B{D}^2+A{D}^2=A{B}^2$$

Подставляя известные значения, получаем:

$$0,{25}^2+(0,5+x{)}^2=(x+y{)}^2$$

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

$$0,0625+0,25x+0,{25}^2=x^2+2xy+y^2$$

Учитывая, что BD равно DE и AE равно 0,5 м, мы можем записать, что:

$$0,25=x+y$$

Мы можем заменить $x+y$ в уравнении выше и решить его относительно переменной $x$:

$$0,0625+0,25x+0,{25}^2=x^2+2x(x+0,25)$$

Упрощая уравнение, получаем:

$$0,0625+0,25x+0,{25}^2=x^2+0,5x+0,5x+0,25$$

Опять упрощая, получаем:

$$0,0625+0,25x+0,0625=x^2+x+0,25$$

$$0,125+0,25x=x^2+x+0,25$$

Теперь приведем уравнение в квадратичную форму, вычитая $0,25x$ и $0,125$ с обеих сторон:

$$x^2+x+0,25-0,25x-x-0,125=0$$

$$x^2-0,25x-0,125=0$$

Используя квадратное уравнение, мы можем решить его с помощью дискриминанта:

$$D=(-0,25{)}^2-4\cdot 1\cdot (-0,125)=0,0625+0,5=0,5625$$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня уравнения:

$$x_1=\frac{-(-0,25)+\sqrt{0,5625}}{2\cdot 1}=\frac{0,25+0,75}{2}=0,5м$$

и

$$x_2=\frac{-(-0,25)-\sqrt{0,5625}}{2\cdot 1}=\frac{0,25-0,75}{2}=-0,25м$$

Так как длина не может быть отрицательной, мы выбираем положительное значение:

$$x=0,5м$$

Используя наше ранее уравнение $x+y=0,25$, мы можем выразить $y$:

$$0,5+y=0,25$$

Вычитая $0,5$ с обеих сторон, мы получаем:

$$y=0,25-0,5=-0,25м$$

Так как длина не может быть отрицательной, мы видим, что длина отрезка BC равна $0,25$ метра.