​Как можно выразить вектор mp через векторы a и b в параллелограмме abcd, где на сторонах bc и cd отмечены точки m

Весенний_Дождь

32

Чтобы выразить вектор mp через векторы a и b, нам понадобится использовать свойства параллелограмма и линейную комбинацию векторов.

Предположим, что \( \overrightarrow{AM} \) является вектором a, а \( \overrightarrow{AB} \) является вектором b.

Выразим векторы bc и cd через векторы a и b, используя линейную комбинацию. Зная, что \( \overrightarrow{BM} \) делит отношение bm:mc в 2:5, мы можем выразить вектор bc следующим образом:

\[ \overrightarrow{BC} = \frac{5}{2} \cdot \overrightarrow{BM} \]

Аналогично, мы можем выразить вектор cd, используя отношение cp:pd:

\[ \overrightarrow{CD} = \frac{3}{1} \cdot \overrightarrow{CP} \]

Теперь, чтобы выразить вектор mp, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма, который гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам:

\[ \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) \]

Подставляя векторы bc и cd, получим:

\[ \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{5}{2} \cdot \overrightarrow{BM} + \frac{3}{1} \cdot \overrightarrow{CP} \right) \]

Таким образом, вектор mp выражается через векторы a и b следующим образом:

\[ \overrightarrow{MP} = \frac{5}{4} \cdot \overrightarrow{BM} + \frac{3}{2} \cdot \overrightarrow{CP} \]

Основываясь на заданных соотношениях bm:mc=2:5 и cp:pd=3:1, мы можем записать:

\[ \overrightarrow{BM} = \frac{5}{7} \cdot \overrightarrow{BC} \]
\[ \overrightarrow{CP} = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow{CD} \]

Подставляя их в выражение для вектора mp, получим окончательный ответ:

\[ \overrightarrow{MP} = \frac{5}{4} \cdot \left( \frac{5}{7} \cdot \overrightarrow{BC} \right) + \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow{CD} \right) \]