Как можно выразить вектор ST с использованием векторов BA (a) и BC (b) в параллелограмме ABCD, где на сторонах AD

Sherlok

56

Чтобы выразить вектор ST с использованием векторов BA (a) и BC (b) в параллелограмме ABCD, давайте разберемся сначала с отношениями AS:SD и CT:TD.

Мы знаем, что AS:SD = 5:3 и CT:TD = 2:1. Отсюда можно вывести два соотношения:
AS = (5/8) AD и SD = (3/8) AD, так как AS + SD = AD.

Теперь мы можем записать вектор ST через векторы BA (a) и BC (b).

ST = SB + BA + AT, так как ST = SB + BC + CT = SB + BC + (CD - DT) = SB + BC + (AD - SD) = SB + BA + AT.

Мы можем выразить вектор BA через AS, используя то, что BA + AD = SB, следовательно, BA = SB - AD = SB - (5/8) AD.

Мы также можем выразить вектор BC через CT, используя то, что BC + CD = CE, следовательно, BC = CT - (1/3) CD = CT - (1/3) (AD - SD) = CT - (1/3) (AD - (3/8) AD).

Заметим, что AD = AB + BA = AB + SB - (5/8) AD, поэтому (13/8) AD = AB + SB.

Раскроем скобки: BC = CT - (1/3) (AD - (3/8) AD) = CT - (1/3) (AD - (3/8) (2/13) (AB + SB)) = CT - (1/3) (7/104) (AB + SB).

Теперь, мы можем выразить вектор ST через векторы BA (a) и BC (b):
ST = SB + BA + AT = SB + (SB - (5/8) AD) + AD - SD = 2SB + AD - (7/8) AD - (3/8) (2/13) (AB + SB).

Давайте упростим это выражение:

ST = 2SB + AD - (7/8) AD - (3/8) (2/13) (AB + SB) = 2SB + AD - (7/8) AD - (3/8) (2/13) (AB + SB) = 2SB - (7/8) AD - (3/8) (2/13) AB + (3/8) (2/13) SB.

Теперь мы можем сгруппировать векторы:
ST = (2SB + (3/8) (2/13) SB) + (- (7/8) AD - (3/8) (2/13) AB + AD) = (1 + (3/8) (2/13)) SB + ((-7/8) + 1) AD + (- (3/8) (2/13)) AB.

Упростим дальше:
ST = (1 + (3/8) (2/13)) SB + ((-7/8) + 1) AD + (- (3/8) (2/13)) AB = (1 + (3/52)) SB + (- (7/8) + 8/8) AD + (- (3/8) (2/13)) AB = (1 + 3/52) SB + (1/8) AD + (- (3/8) (2/13)) AB.

Давайте запишем это окончательное выражение в более компактной форме:
ST = (55/52) SB + (1/8) AD + (- (3/104)) AB.

Теперь мы выразили вектор ST с использованием векторов BA (a) и BC (b) в параллелограмме ABCD.