2) Каков угол между прямыми, проходящими через точки А(1,0,2) и В(2,1,0)?

Koko

15

Для решения данной задачи, нам необходимо найти угол между двумя прямыми, проходящими через точки А(1,0,2) и В(2,1,0).

Первым шагом найдем векторы, направленные вдоль каждой из прямых. Обозначим эти векторы как \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), где точка С находится на одной из прямых.

\(\overrightarrow{AB}\) можно получить, вычитая координаты точки А из координат точки В:

\[
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 1 - 0 \\ 0 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]

Теперь найдем вектор \(\overrightarrow{AC}\) с помощью другой точки на одной из прямых. Давайте возьмем точку С(0,2,-1):

\[
\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 2 - 0 \\ -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}
\]

Теперь, чтобы найти угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), мы можем использовать следующую формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}}{{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\|}}
\]

где \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) обозначает скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), а \(\|\overrightarrow{AB}\|\) и \(\|\overrightarrow{AC}\|\) обозначают длины этих векторов.

Вычислим скалярное произведение и длины векторов:

\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1 \cdot -1) + (1 \cdot 2) + (-2 \cdot -3) = -1 + 2 + 6 = 7
\]

\[
\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}
\]

\[
\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}
\]

Теперь мы можем вычислить угол \(\theta\) с помощью формулы:

\[
\cos(\theta) = \frac{7}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}}
\]

\[
\theta = \arccos\left(\frac{7}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}}\right)
\]

Округлим значение угла до двух десятичных знаков:

\[
\theta \approx 38.87^\circ
\]

Таким образом, угол между прямыми, проходящими через точки А(1,0,2) и В(2,1,0), приближенно равен 38.87 градусов.

Пожалуйста, если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!