Как можно выразить векторы [tex]2x - 3y; 3x + frac{1}{3} y[/tex] через m и n, если [tex]x = 2m + n[/tex] и [tex]y

Volshebnik

17

Чтобы выразить векторы \(2x - 3y\) и \(3x + \frac{1}{3}y\) через \(m\) и \(n\), нам необходимо подставить значения \(x\) и \(y\) из данных уравнений.

Из уравнения \(x = 2m + n\) можно получить значение \(x\) в зависимости от \(m\) и \(n\):

\[x = 2m + n \quad \text{(1)}\]

Аналогично, из уравнения \(y = m - 3n\) можно получить значение \(y\) в зависимости от \(m\) и \(n\):

\[y = m - 3n \quad \text{(2)}\]

Теперь мы можем подставить значения \(x\) и \(y\) в векторы \(2x - 3y\) и \(3x + \frac{1}{3}y\):

\[2x - 3y = 2(2m + n) - 3(m - 3n)\]
\[= 4m + 2n - 3m + 9n\]
\[= (4m - 3m) + (2n + 9n)\]
\[= m + 11n\]

Таким образом, вектор \(2x - 3y\) выражается через \(m\) и \(n\) как \(m + 11n\).

Аналогично, для вектора \(3x + \frac{1}{3}y\) получаем:

\[3x + \frac{1}{3}y = 3(2m + n) + \frac{1}{3}(m - 3n)\]
\[= 6m + 3n + \frac{1}{3}m - n\]
\[= (6m + \frac{1}{3}m) + (3n - n)\]
\[= \frac{19}{3}m + 2n\]

Таким образом, вектор \(3x + \frac{1}{3}y\) выражается через \(m\) и \(n\) как \(\frac{19}{3}m + 2n\).

Таким образом, мы получили выражения для векторов \(2x - 3y\) и \(3x + \frac{1}{3}y\) через \(m\) и \(n\):

\[2x - 3y = m + 11n\]
\[3x + \frac{1}{3}y = \frac{19}{3}m + 2n\]