Как найти длину диагонали BD, исходя из известного периметра и разности сторон AB - BC = 3? Дано P=60 и на рисунке

Ogonek_6144

4

Чтобы найти длину диагонали BD, нам необходимо использовать информацию о периметре и разности сторон AB и BC. Давайте пошагово решим эту задачу.

Шаг 1: Рассмотрим известные нам величины:
AB - длина стороны AB,
BC - длина стороны BC,
P - периметр прямоугольника.

Шаг 2: Используя формулу периметра прямоугольника, мы можем записать следующее уравнение:
AB + BC + AB + BC = P

Шаг 3: Из задачи нам известно, что разность сторон AB и BC равна 3. Мы можем записать это в виде уравнения:
AB - BC = 3

Шаг 4: Мы можем решить это систему уравнений, используя метод замены или метод сложения/вычитания. В данном случае, давайте применим метод сложения/вычитания.
Умножим второе уравнение на 2, чтобы сделать коэффициенты при AB и BC одинаковыми:
2(AB - BC) = 2(3)
2AB - 2BC = 6

Шаг 5: Просуммируем это уравнение с уравнением для периметра:
AB + BC + AB + BC + 2AB - 2BC = P + 6

2AB + 2BC = P + 6

Шаг 6: Поскольку периметр P равен 60 и разность сторон AB и BC равна 3, мы можем заменить значения в уравнении:
2AB + 2BC = 60 + 6
2AB + 2BC = 66

Шаг 7: Теперь мы можем упростить это уравнение, разделив обе части на 2:
AB + BC = 33

Шаг 8: Вспомним, что диагональ BD является гипотенузой прямоугольного треугольника ABD. Теперь у нас есть две стороны этого треугольника: AB и BC. Нам необходимо найти длину гипотенузы BD.

Шаг 9: Используя теорему Пифагора, мы можем записать следующее уравнение:
AB^2 + BC^2 = BD^2

Шаг 10: Подставим значения AB и BC из уравнения в шаге 8 в уравнение выше:
AB^2 + BC^2 = BD^2
(33 - BC)^2 + BC^2 = BD^2

Шаг 11: Раскроем скобки величины (33 - BC)^2:
(33^2 - 2 * 33 * BC + BC^2) + BC^2 = BD^2
1089 - 66BC + 2BC^2 = BD^2

Шаг 12: Теперь мы можем заменить уравнение (AB^2 + BC^2 = BD^2) в уравнении выше:
1089 - 66BC + 2BC^2 = AB^2 + BC^2

Шаг 13: Упростим это уравнение, отнимая BC^2 с обеих сторон:
1089 - 66BC + 2BC^2 - BC^2 = AB^2

Шаг 14: Упростим еще больше, сокращая BC^2:
1089 - 66BC + BC^2 = AB^2

Шаг 15: Мы знаем, что AB - BC = 3, поэтому BC = AB - 3. Мы можем заменить BC в уравнении:
1089 - 66(AB - 3) + (AB - 3)^2 = AB^2

Шаг 16: Раскроем скобки и упростим:
1089 - 66AB + 198 + AB^2 - 6AB + 9 = AB^2

Шаг 17: И упростим еще больше:
1296 - 72AB = 0

Шаг 18: Теперь мы можем решить это уравнение, разделив обе части на 72:
18 - AB = 0

Шаг 19: Прибавим AB к обеим сторонам уравнения:
18 = AB

Шаг 20: Теперь мы знаем, что AB равно 18, и BC равно 18 - 3 = 15. Мы можем вычислить длину гипотенузы BD, используя уравнение в шаге 10:
AB^2 + BC^2 = BD^2
18^2 + 15^2 = BD^2
324 + 225 = BD^2
BD^2 = 549

Шаг 21: Найдем квадратный корень обеих сторон уравнения:
BD = \sqrt{549}

Итак, длина диагонали BD равна \sqrt{549}.