В тетраэдре DABC: M - центр DC, K - центр AC, N - центр BC. а) Создайте плоскость, проходящую через точки M, N

Raduzhnyy_Mir

14

Хорошо, давайте по порядку рассмотрим каждый пункт задачи.

а) Чтобы создать плоскость, проходящую через точки M, N, K, нам понадобится векторное произведение. Векторное произведение двух векторов даёт новый вектор, который перпендикулярен обоим исходным векторам. Так как плоскость должна проходить через точки M, N и K, нужно взять векторное произведение векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MK}\).

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M}\)

\(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{M}\)

Подставим значения:

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{DC}\)

\(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{DC}\)

Теперь возьмем их векторное произведение:

\(\overrightarrow{S} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK}\)

\(\overrightarrow{S} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{DC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} \times \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} \times \overrightarrow{DC}\)

\(\overrightarrow{S} = 0\)

Таким образом, получаем, что векторное произведение \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MK}\) равно нулю, что означает, что эти векторы коллинеарны. Значит, прямые MN и MK лежат в одной плоскости.

б) Теперь определим периметр этого сечения, при условии, что DB = 8 см, AD = 6 см и AB = 4 см.

Мы знаем, что M - центр DC, поэтому MC равно половине ДС: MC = \(\frac{1}{2}\)DC.

Также, поскольку K - центр AC, AK = KC = \(\frac{1}{2}\)AC.

Аналогично, NC = \(\frac{1}{2}\)BC.

Первым шагом найдём DC. Из треугольника ADC мы видим, что AD^2 + DC^2 = AC^2. Подставим известные значения и найдём DC:

6^2 + DC^2 = 2AK^2

36 + DC^2 = 2(\(\frac{1}{2}\)AC)^2

36 + DC^2 = \(\frac{1}{2}\)AC^2

36 + DC^2 = \(\frac{1}{2}\)4^2

36 + DC^2 = 8

DC^2 = 8 - 36

DC^2 = -28

Поскольку -28 не имеет реального значения, мы понимаем, что данная задача не имеет физического решения. Поэтому периметр сечения невозможно рассчитать.

в) Чтобы показать, что плоскости ADB параллельны, мы должны показать, что их нормали коллинеарны. Получим уравнения плоскостей ADB и DBC и сравним их нормали.

Уравнение плоскости ADB можно получить, используя точку A и направляющие векторы DB и DA. Так как точки D, A и B уже известны, найдём векторы DB и DA:

\(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}\)

\(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{D} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}\)

Теперь найдём уравнение плоскости ADB, используя формулу:

\(Ax + By + Cz + D = 0\)

\(A = \overrightarrow{DB}_{y} \cdot \overrightarrow{DA}_{z} - \overrightarrow{DB}_{z} \cdot \overrightarrow{DA}_{y}\)

\(B = \overrightarrow{DB}_{z} \cdot \overrightarrow{DA}_{x} - \overrightarrow{DB}_{x} \cdot \overrightarrow{DA}_{z}\)

\(C = \overrightarrow{DB}_{x} \cdot \overrightarrow{DA}_{y} - \overrightarrow{DB}_{y} \cdot \overrightarrow{DA}_{x}\)

\(D = -A \cdot x_0 - B \cdot y_0 - C \cdot z_0\)

где \((x_0, y_0, z_0)\) - координаты точки А.

Подставим значения и найдём коэффициенты:

\(A = \overrightarrow{DB}_{y} \cdot \overrightarrow{DA}_{z} - \overrightarrow{DB}_{z} \cdot \overrightarrow{DA}_{y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0\)

\(B = \overrightarrow{DB}_{z} \cdot \overrightarrow{DA}_{x} - \overrightarrow{DB}_{x} \cdot \overrightarrow{DA}_{z} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0\)

\(C = \overrightarrow{DB}_{x} \cdot \overrightarrow{DA}_{y} - \overrightarrow{DB}_{y} \cdot \overrightarrow{DA}_{x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0\)

\(D = -A \cdot x_0 - B \cdot y_0 - C \cdot z_0 = 0\)

Мы видим, что коэффициенты A, B, C и D равны нулю, что означает, что нормаль плоскости ADB коллинеарна нормали плоскости DBC. Следовательно, плоскости ADB параллельны.

В итоге, в данной задаче мы создали плоскость, проходящую через точки M, N, K, определили, что периметр этого сечения невозможно рассчитать при заданных размерах и доказали, что плоскости ADB параллельны.