Как найти длины дуг кривых, которые определяются параметрическими уравнениями x=(t^2-2)sint+2tcost

Ягода

28

Конечно! Чтобы найти длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями \(x = (t^2-2)\sin(t) + 2t\cos(t)\) и \(y = (2-t^2)\cos(t) + 2t\sin(t)\) для значения \(t\) в диапазоне от 0 до \(\frac{\pi}{2}\), нам понадобится использовать формулу для длины дуги кривой в параметрической форме.

Для кривых, заданных параметрическими уравнениями \(x = f(t)\) и \(y = g(t)\), длина дуги \(L\) может быть найдена с использованием следующей формулы:

\[L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt\]

В нашем случае, \(a = 0\) и \(b = \frac{\pi}{2}\). Теперь найдем производные от \(x\) и \(y\) по \(t\).

\[\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left((t^2-2)\sin(t) + 2t\cos(t)\right)\]
\[\frac{dx}{dt} = (2t\sin(t) - 2\cos(t) + 2\cos(t) - 2t\sin(t)) = 0\]

\[\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left((2-t^2)\cos(t) + 2t\sin(t)\right)\]
\[\frac{dy}{dt} = (-2t\sin(t) - 2\cos(t) + 2\sin(t) + 2t\cos(t)) = -2\cos(t)\]

Теперь подставим значения производных в формулу для длины дуги:

\[L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{0^2 + (-2\cos(t))^2} dt\]
\[L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2|\cos(t)| dt\]

Так как мы знаем, что \(\cos(t)\) положителен в данном диапазоне значений, мы можем упростить интеграл:

\[L = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) dt\]
\[L = 2[\sin(t)]_0^{\frac{\pi}{2}} = 2(\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)) = 2(1 - 0) = 2\]

Таким образом, длина дуги составляет \(2\) единицы.