Как найти корни уравнения x3+11x2-9-99=0?

Кира

39

Хорошо, давайте посмотрим на решение задачи. У вас имеется уравнение третьей степени и вы хотите найти его корни. Перед тем как начать, давайте приведем уравнение к стандартной форме.

У вас дано уравнение: \(x^3 + 11x^2 - 9x - 99 = 0\)

Шаг 1: Попробуем применить теорему о рациональных корнях. Согласно этой теореме, все рациональные корни уравнения будут делителями свободного члена (в данном случае 99) и коэффициента при старшей степени (в данном случае 1). Таким образом, мы можем начать перебирать все возможные делители 99.

Делители 99: \(\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 11, \pm 33, \pm 99\)

Шаг 2: Проверим каждый делитель, используя метод синтетического деления. Начнем с делителя 1.

\[
\begin{{array}}{{c|cccc}}
1 & 1 & 11 & -9 & -99 \\
\hline
& & 1 & 12 & 3 \\
\end{{array}}
\]

Мы видим, что при делении на 1 остаток не равен нулю. Попробуем следующий делитель.

\[
\begin{{array}}{{c|cccc}}
-1 & 1 & 11 & -9 & -99 \\
\hline
& & -1 & -10 & 19 \\
\end{{array}}
\]

Таким образом, у нас есть корень -1. Следовательно, \(x + 1\) является одним из множителей исходного уравнения.

Шаг 3: Разделим исходное уравнение на множитель \(x + 1\) с помощью долгого деления или синтетического деления.

\[
(x + 1)(x^2 + 10x - 19) = 0
\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение \(x^2 + 10x - 19 = 0\).

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения, используя формулу дискриминанта или метод завершения квадрата. В данном случае, мы воспользуемся формулой дискриминанта.

Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) с корнями \(x_1\) и \(x_2\), дискриминант (\(D\)) и корни (\(x_1\) и \(x_2\)) связаны следующим образом:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[x_1 = \frac{{-b + \sqrt{{D}}}}{{2a}}\]
\[x_2 = \frac{{-b - \sqrt{{D}}}}{{2a}}\]

Для нашего уравнения \(x^2 + 10x - 19 = 0\) имеем:
\(a = 1\), \(b = 10\), \(c = -19\).

Рассчитаем дискриминант (\(D\)):
\(D = 10^2 - 4*1*(-19) = 100 + 76 = 176\)

Теперь найдем корни уравнения, используя формулы:
\(x_1 = \frac{{-10 + \sqrt{{176}}}}{{2*1}}\)
\(x_2 = \frac{{-10 - \sqrt{{176}}}}{{2*1}}\)

Рассчитаем корни:

\(x_1 = \frac{{-10 + \sqrt{{176}}}}{{2}} \approx 2.83\)
\(x_2 = \frac{{-10 - \sqrt{{176}}}}{{2}} \approx -12.83\)

Таким образом, корни исходного уравнения \(x^3 + 11x^2 - 9x - 99 = 0\) равны:
\(x = -1\), \(x \approx 2.83\) и \(x \approx -12.83\).

Это и является ответом на вашу задачу.