Каковы методы исследования и построения графика функции Y = (2x - 1)/(x - 1)^2?

Зимний_Мечтатель

24

Для исследования функции \(y = \frac{{2x - 1}}{{(x - 1)^2}}\) на построение графика, нам потребуется выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение области определения функции
Область определения состоит из всех значений \(x\), для которых функция определена. В данном случае функция определена для всех значений \(x\), кроме \(x = 1\), так как в знаменателе стоит выражение \((x - 1)^2\), которое не может быть равно нулю. Таким образом, область определения функции \(y = \frac{{2x - 1}}{{(x - 1)^2}}\) это все значения \(x\), кроме \(x = 1\).

Шаг 2: Нахождение точек пересечения с осями координат
Для нахождения точек пересечения с осью \(x\) ставим \(y\) равным нулю и решаем уравнение:
\[0 = \frac{{2x - 1}}{{(x - 1)^2}}\]

Умножаем обе стороны на \((x - 1)^2\):
\[0 = 2x - 1\]

Приравниваем \(2x - 1\) к нулю и находим значение \(x\):
\[2x - 1 = 0\]
\[2x = 1\]
\[x = \frac{1}{2}\]

Значит, у нас есть одна точка пересечения с осью \(x\) в точке \((\frac{1}{2}, 0)\).

Для нахождения точек пересечения с осью \(y\) ставим \(x\) равным нулю и решаем уравнение:
\[y = \frac{{2(0) - 1}}{{(0 - 1)^2}}\]
\[y = \frac{{-1}}{{1}}\]
\[y = -1\]

Значит, у нас есть одна точка пересечения с осью \(y\) в точке \((0, -1)\).

Шаг 3: Определение поведения функции на интервалах
Чтобы определить поведение функции на интервалах и наличие асимптот, мы можем выполнить следующие шаги:

3.1. Определяем вертикальные асимптоты: Находим значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю, и проверяем, существуют ли соответствующие горизонтальные асимптоты:
\((x - 1)^2 = 0\) при \(x = 1\).

Мы знаем, что если знаменатель равен нулю, то функция может иметь вертикальную асимптоту. Однако, так как ниже мы установим, что наша функция также имеет горизонтальную асимптоту, то значение \(x = 1\) не является вертикальной асимптотой.

3.2. Определяем горизонтальные асимптоты:
Находим предел функции при \(x\) стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

\[\lim_{{x \to \infty}}{\left(\frac{{2x - 1}}{{(x - 1)^2}}\right)}\]
\[\lim_{{x \to -\infty}}{\left(\frac{{2x - 1}}{{(x - 1)^2}}\right)}\]

Для упрощения вычислений разделим числитель и знаменатель на \(x^2\):
\[\lim_{{x \to \infty}}{\left(\frac{{\frac{{2x}}{{x^2}} - \frac{1}{{x^2}}}}{{(1 - \frac{1}{x})^2}}\right)}\]
\[\lim_{{x \to -\infty}}{\left(\frac{{\frac{{2x}}{{x^2}} - \frac{1}{{x^2}}}}{{(1 - \frac{1}{x})^2}}\right)}\]

После упрощения получаем:
\[\lim_{{x \to \infty}}{\left(\frac{{\frac{2}{x} - \frac{1}{{x^2}}}}{{(1 - \frac{1}{x})^2}}\right)}\]
\[\lim_{{x \to -\infty}}{\left(\frac{{\frac{2}{x} - \frac{1}{{x^2}}}}{{(1 - \frac{1}{x})^2}}\right)}\]

После подстановки получим:
\[\lim_{{x \to \infty}}{\left(\frac{0}{1}\right)} = 0\]
\[\lim_{{x \to -\infty}}{\left(\frac{0}{1}\right)} = 0\]

Таким образом, у нашей функции есть две горизонтальные асимптоты:
- горизонтальная асимптота \(y = 0\) при \(x \to \infty\)
- горизонтальная асимптота \(y = 0\) при \(x \to -\infty\)

Шаг 4: Анализ поведения функции и построение графика
На основе всех вышеперечисленных результатов мы можем проанализировать поведение функции и построить график:

- Область определения функции: все значения \(x\), кроме \(x = 1\).
- Точка пересечения с осью \(x\): \((\frac{1}{2}, 0)\).
- Точка пересечения с осью \(y\): \((0, -1)\).
- Вертикальные асимптоты: отсутствуют.
- Горизонтальные асимптоты: \(y = 0\) при \(x \to \infty\) и \(y = 0\) при \(x \to -\infty\).

Теперь мы готовы построить график функции \(y = \frac{{2x - 1}}{{(x - 1)^2}}\). Обратите внимание, что график будет иметь линию разрыва в точке \(x = 1\) из-за неопределенности функции в этой точке.

\[Картинка с графиком функции будет здесь\]