Для исследования функции на построение графика, нам потребуется выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Определение области определения функции
Область определения состоит из всех значений , для которых функция определена. В данном случае функция определена для всех значений , кроме , так как в знаменателе стоит выражение , которое не может быть равно нулю. Таким образом, область определения функции это все значения , кроме .
Шаг 2: Нахождение точек пересечения с осями координат
Для нахождения точек пересечения с осью ставим равным нулю и решаем уравнение:
Умножаем обе стороны на :
Приравниваем к нулю и находим значение :
Значит, у нас есть одна точка пересечения с осью в точке .
Для нахождения точек пересечения с осью ставим равным нулю и решаем уравнение:
Значит, у нас есть одна точка пересечения с осью в точке .
Шаг 3: Определение поведения функции на интервалах
Чтобы определить поведение функции на интервалах и наличие асимптот, мы можем выполнить следующие шаги:
3.1. Определяем вертикальные асимптоты: Находим значения , при которых знаменатель равен нулю, и проверяем, существуют ли соответствующие горизонтальные асимптоты: при .
Мы знаем, что если знаменатель равен нулю, то функция может иметь вертикальную асимптоту. Однако, так как ниже мы установим, что наша функция также имеет горизонтальную асимптоту, то значение не является вертикальной асимптотой.
3.2. Определяем горизонтальные асимптоты:
Находим предел функции при стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:
Для упрощения вычислений разделим числитель и знаменатель на :
После упрощения получаем:
После подстановки получим:
Таким образом, у нашей функции есть две горизонтальные асимптоты:
- горизонтальная асимптота при
- горизонтальная асимптота при
Шаг 4: Анализ поведения функции и построение графика
На основе всех вышеперечисленных результатов мы можем проанализировать поведение функции и построить график:
- Область определения функции: все значения , кроме .
- Точка пересечения с осью : .
- Точка пересечения с осью : .
- Вертикальные асимптоты: отсутствуют.
- Горизонтальные асимптоты: при и при .
Теперь мы готовы построить график функции . Обратите внимание, что график будет иметь линию разрыва в точке из-за неопределенности функции в этой точке.
Зимний_Мечтатель 24
Для исследования функцииШаг 1: Определение области определения функции
Область определения состоит из всех значений
Шаг 2: Нахождение точек пересечения с осями координат
Для нахождения точек пересечения с осью
Умножаем обе стороны на
Приравниваем
Значит, у нас есть одна точка пересечения с осью
Для нахождения точек пересечения с осью
Значит, у нас есть одна точка пересечения с осью
Шаг 3: Определение поведения функции на интервалах
Чтобы определить поведение функции на интервалах и наличие асимптот, мы можем выполнить следующие шаги:
3.1. Определяем вертикальные асимптоты: Находим значения
Мы знаем, что если знаменатель равен нулю, то функция может иметь вертикальную асимптоту. Однако, так как ниже мы установим, что наша функция также имеет горизонтальную асимптоту, то значение
3.2. Определяем горизонтальные асимптоты:
Находим предел функции при
Для упрощения вычислений разделим числитель и знаменатель на
После упрощения получаем:
После подстановки получим:
Таким образом, у нашей функции есть две горизонтальные асимптоты:
- горизонтальная асимптота
- горизонтальная асимптота
Шаг 4: Анализ поведения функции и построение графика
На основе всех вышеперечисленных результатов мы можем проанализировать поведение функции и построить график:
- Область определения функции: все значения
- Точка пересечения с осью
- Точка пересечения с осью
- Вертикальные асимптоты: отсутствуют.
- Горизонтальные асимптоты:
Теперь мы готовы построить график функции