Каковы методы исследования и построения графика функции Y = (2x - 1)/(x - 1)^2?

  • 65
Каковы методы исследования и построения графика функции Y = (2x - 1)/(x - 1)^2?
Зимний_Мечтатель
24
Для исследования функции y=2x1(x1)2 на построение графика, нам потребуется выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение области определения функции
Область определения состоит из всех значений x, для которых функция определена. В данном случае функция определена для всех значений x, кроме x=1, так как в знаменателе стоит выражение (x1)2, которое не может быть равно нулю. Таким образом, область определения функции y=2x1(x1)2 это все значения x, кроме x=1.

Шаг 2: Нахождение точек пересечения с осями координат
Для нахождения точек пересечения с осью x ставим y равным нулю и решаем уравнение:
0=2x1(x1)2

Умножаем обе стороны на (x1)2:
0=2x1

Приравниваем 2x1 к нулю и находим значение x:
2x1=0
2x=1
x=12

Значит, у нас есть одна точка пересечения с осью x в точке (12,0).

Для нахождения точек пересечения с осью y ставим x равным нулю и решаем уравнение:
y=2(0)1(01)2
y=11
y=1

Значит, у нас есть одна точка пересечения с осью y в точке (0,1).

Шаг 3: Определение поведения функции на интервалах
Чтобы определить поведение функции на интервалах и наличие асимптот, мы можем выполнить следующие шаги:

3.1. Определяем вертикальные асимптоты: Находим значения x, при которых знаменатель равен нулю, и проверяем, существуют ли соответствующие горизонтальные асимптоты:
(x1)2=0 при x=1.

Мы знаем, что если знаменатель равен нулю, то функция может иметь вертикальную асимптоту. Однако, так как ниже мы установим, что наша функция также имеет горизонтальную асимптоту, то значение x=1 не является вертикальной асимптотой.

3.2. Определяем горизонтальные асимптоты:
Находим предел функции при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

limx(2x1(x1)2)
limx(2x1(x1)2)

Для упрощения вычислений разделим числитель и знаменатель на x2:
limx(2xx21x2(11x)2)
limx(2xx21x2(11x)2)

После упрощения получаем:
limx(2x1x2(11x)2)
limx(2x1x2(11x)2)

После подстановки получим:
limx(01)=0
limx(01)=0

Таким образом, у нашей функции есть две горизонтальные асимптоты:
- горизонтальная асимптота y=0 при x
- горизонтальная асимптота y=0 при x

Шаг 4: Анализ поведения функции и построение графика
На основе всех вышеперечисленных результатов мы можем проанализировать поведение функции и построить график:

- Область определения функции: все значения x, кроме x=1.
- Точка пересечения с осью x: (12,0).
- Точка пересечения с осью y: (0,1).
- Вертикальные асимптоты: отсутствуют.
- Горизонтальные асимптоты: y=0 при x и y=0 при x.

Теперь мы готовы построить график функции y=2x1(x1)2. Обратите внимание, что график будет иметь линию разрыва в точке x=1 из-за неопределенности функции в этой точке.

Картинкасграфикомфункциибудетздесь