Как найти общий вид первообразной для функции f(x)=2x2+3x-8?

Звездопад_В_Космосе_6403

58

Хорошо, чтобы найти общий вид первообразной для функции \(f(x) = 2x^2 + 3x - 8\), мы будем использовать процесс интегрирования. Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем первообразную для каждого члена в функции \(f(x)\).
Для члена \(2x^2\) мы знаем, что производная от \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\). Следовательно, чтобы интегрировать \(2x^2\), мы можем использовать правило интегрирования для степеней функций: \( \int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Используя это правило, получим первообразную для \(2x^2\): \(\int 2x^2 \, dx = \frac{{2x^{2+1}}}{{2+1}} + C_1 = \frac{{2x^3}}{3} + C_1\).

Для члена \(3x\) первообразной является \(\int 3x \, dx = \frac{{3x^{1+1}}}{{1+1}} + C_2 = \frac{{3x^2}}{2} + C_2\).

Для константного члена \(-8\) первообразной является \(\int -8 \, dx = -8x + C_3\).

Шаг 2: Объединим первообразные для каждого члена.
Суммируя эти первообразные, получим общий вид первообразной для функции \(f(x)\):
\(\int f(x) \, dx = \frac{{2x^3}}{3} + \frac{{3x^2}}{2} - 8x + C\), где \(C = C_1 + C_2 + C_3\) - произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной для функции \(f(x) = 2x^2 + 3x - 8\) равен \(\frac{{2x^3}}{3} + \frac{{3x^2}}{2} - 8x + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.