Как найти оптимальное положение железнодорожной станции, чтобы минимизировать затраты на строительство дорог

Лука

58

Чтобы найти оптимальное положение железнодорожной станции и минимизировать затраты на строительство дорог, нужно использовать принцип минимального пути. Для начала, давайте посчитаем общую стоимость строительства дороги до каждого населенного пункта.

Пусть \(d_a\), \(d_b\), и \(d_c\) - расстояния от потенциальной железнодорожной станции до населенных пунктов A, B и C соответственно.

Тогда суммарные затраты на строительство дорог до каждого населенного пункта будут равны:

суммарные затраты на строительство дорог = стоимость строительства дороги до населенного пункта A + стоимость строительства дороги до населенного пункта B + стоимость строительства дороги до населенного пункта C

\[
= d_a \cdot 530 + d_b \cdot 180 + d_c \cdot 940
\]

Нашей задачей является минимизация этой суммарной стоимости.

Чтобы найти оптимальное расположение железнодорожной станции, мы должны найти значения \(d_a\), \(d_b\) и \(d_c\), которые минимизируют суммарную стоимость строительства дорог.

Один из способов решения этой задачи - использовать метод дифференциального исчисления. Мы можем найти минимум функции, представляющей суммарные затраты на строительство дорог, взяв производную по каждой переменной и приравняв ее к нулю.

Давайте начнем с выведения формулы для суммарных затрат на строительство дорог. Для удобства обозначим их как \(C\):

\(C = 530d_a + 180d_b + 940d_c\)

Теперь найдем производные от \(C\) по каждой переменной \(d_a\), \(d_b\) и \(d_c\):

\(\frac{{dC}}{{d_d_a}} = 530\)
\(\frac{{dC}}{{d_d_b}} = 180\)
\(\frac{{dC}}{{d_d_c}} = 940\)

Теперь приравняем каждую производную к нулю и найдем значения \(d_a\), \(d_b\) и \(d_c\), удовлетворяющие условию минимума:

\[
530 = 0
\]
\[
180 = 0
\]
\[
940 = 0
\]

Так как ни одно из этих уравнений не имеет решения, это означает, что нет строго оптимального решения. Возможно, следует рассмотреть другие факторы, такие как потоки пассажиров и грузов, чтобы оценить, какую станцию имеет смысл выбрать с учетом более широкого контекста.