Как найти оптимальное положение железнодорожной станции, чтобы минимизировать затраты на строительство дорог

Лука

58

Чтобы найти оптимальное положение железнодорожной станции и минимизировать затраты на строительство дорог, нужно использовать принцип минимального пути. Для начала, давайте посчитаем общую стоимость строительства дороги до каждого населенного пункта.

Пусть $d_a$, $d_b$, и $d_c$ - расстояния от потенциальной железнодорожной станции до населенных пунктов A, B и C соответственно.

Тогда суммарные затраты на строительство дорог до каждого населенного пункта будут равны:

суммарные затраты на строительство дорог = стоимость строительства дороги до населенного пункта A + стоимость строительства дороги до населенного пункта B + стоимость строительства дороги до населенного пункта C

$$=d_a\cdot 530+d_b\cdot 180+d_c\cdot 940$$

Нашей задачей является минимизация этой суммарной стоимости.

Чтобы найти оптимальное расположение железнодорожной станции, мы должны найти значения $d_a$, $d_b$ и $d_c$, которые минимизируют суммарную стоимость строительства дорог.

Один из способов решения этой задачи - использовать метод дифференциального исчисления. Мы можем найти минимум функции, представляющей суммарные затраты на строительство дорог, взяв производную по каждой переменной и приравняв ее к нулю.

Давайте начнем с выведения формулы для суммарных затрат на строительство дорог. Для удобства обозначим их как $C$:

$C=530d_a+180d_b+940d_c$

Теперь найдем производные от $C$ по каждой переменной $d_a$, $d_b$ и $d_c$:

$\text{Double subscripts: use braces to clarify}$
$\text{Double subscripts: use braces to clarify}$
$\text{Double subscripts: use braces to clarify}$

Теперь приравняем каждую производную к нулю и найдем значения $d_a$, $d_b$ и $d_c$, удовлетворяющие условию минимума:

$$530=0$$
$$180=0$$
$$940=0$$

Так как ни одно из этих уравнений не имеет решения, это означает, что нет строго оптимального решения. Возможно, следует рассмотреть другие факторы, такие как потоки пассажиров и грузов, чтобы оценить, какую станцию имеет смысл выбрать с учетом более широкого контекста.