Как найти первообразную функции f(x)=1/x^2-2sinx, где x не равно нулю?

Zvonkiy_Elf

5

Хорошо, давайте посмотрим, как найти первообразную функции $f(x)=\frac{1}{x^2}-2\sin (x)$, где $x$ не равно нулю.

Для того чтобы найти первообразную, нам нужно проинтегрировать каждое слагаемое по отдельности. Начнем с первого слагаемого $\frac{1}{x^2}$:

$$\int \frac{1}{x^2}dx$$

Для этого интеграла мы можем использовать обратное свойство производной: $\frac{d}{dx}\left(\frac{-1}{x}\right)=\frac{1}{x^2}$. Поэтому:

$$\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C_1,$$

где $C_1$ — произвольная постоянная.

Теперь давайте интегрируем второе слагаемое $-2\sin (x)$:

$$\int -2\sin (x)dx$$

Интеграл синуса просто равен $-\cos (x)$. Поэтому:

$$\int -2\sin (x)dx=-2\cos (x)+C_2,$$

где $C_2$ — еще одна произвольная постоянная.

Теперь объединим оба интеграла:

$$\int (\frac{1}{x^2}-2\sin (x))dx=(-\frac{1}{x}+C_1)+(-2\cos (x)+C_2).$$

Мы можем объединить постоянные $C_1$ и $C_2$ в одну, пусть это будет $C$, тогда окончательный ответ имеет вид:

$$\int (\frac{1}{x^2}-2\sin (x))dx=-\frac{1}{x}-2\cos (x)+C.$$

Итак, первообразная функции $f(x)=\frac{1}{x^2}-2\sin (x)$, где $x$ не равно нулю, равна $-\frac{1}{x}-2\cos (x)+C$, где $C$ — произвольная постоянная.