Как найти первообразную функции f(x)=1/x^2-2sinx, где x не равно нулю?

Zvonkiy_Elf

5

Хорошо, давайте посмотрим, как найти первообразную функции \(f(x) = \frac{1}{x^2} - 2\sin(x)\), где \(x\) не равно нулю.

Для того чтобы найти первообразную, нам нужно проинтегрировать каждое слагаемое по отдельности. Начнем с первого слагаемого \(\frac{1}{x^2}\):

\[
\int \frac{1}{x^2} \, dx
\]

Для этого интеграла мы можем использовать обратное свойство производной: \(\frac{d}{dx} \left(\frac{-1}{x}\right) = \frac{1}{x^2}\). Поэтому:

\[
\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C_1,
\]

где \(C_1\) — произвольная постоянная.

Теперь давайте интегрируем второе слагаемое \(-2\sin(x)\):

\[
\int -2\sin(x) \, dx
\]

Интеграл синуса просто равен \(-\cos(x)\). Поэтому:

\[
\int -2\sin(x) \, dx = -2\cos(x) + C_2,
\]

где \(C_2\) — еще одна произвольная постоянная.

Теперь объединим оба интеграла:

\[
\int \left(\frac{1}{x^2} - 2\sin(x)\right) \, dx = \left(-\frac{1}{x} + C_1\right) + \left(-2\cos(x) + C_2\right).
\]

Мы можем объединить постоянные \(C_1\) и \(C_2\) в одну, пусть это будет \(C\), тогда окончательный ответ имеет вид:

\[
\int \left(\frac{1}{x^2} - 2\sin(x)\right) \, dx = -\frac{1}{x} - 2\cos(x) + C.
\]

Итак, первообразная функции \(f(x) = \frac{1}{x^2} - 2\sin(x)\), где \(x\) не равно нулю, равна \(-\frac{1}{x} - 2\cos(x) + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.