Какова площадь сечения, полученного плоскостью, проведенной через точку, находящуюся на расстоянии 5 дм от центра

Рыжик

46

Для решения этой задачи нам необходимо использовать формулы, связанные с геометрией и сферой. Давайте начнем с пошагового решения:

1. Предоставлено, что радиус сферы равен \(r\).
2. Точка, через которую проходит плоскость, находится на расстоянии 5 дм от центра сферы. Давайте назовем эту точку \(P\) и расстояние \(OP\).
3. Вспомним формулу для площади сечения сферы: \(S = \pi \cdot r^2 \cdot \sin^2{\theta}\), где \(\theta\) - угол сечения.
4. В данной задаче мы не знаем угла \(\theta\), но знаем, что расстояние \(OP\) равно 5 дм, а радиус сферы \(r\) - это расстояние от центра сферы до точки \(P\).
5. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину \(OP\). Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, катетом является радиус \(r\) и расстояние \(OP\) - гипотенуза. Таким образом, у нас есть: \(5^2 = r^2 + r^2 = 2r^2\).
6. Решим это уравнение относительно радиуса \(r\): \(2r^2 = 25\). Для этого разделим обе стороны на 2: \(r^2 = \frac{25}{2}\).
7. Найдем площадь сечения сферы, используя формулу \(S = \pi \cdot r^2 \cdot \sin^2{\theta}\). В данной задаче мы не знаем угол \(\theta\), поэтому мы можем предположить, что \(\sin^2{\theta} = 1\), так как в ситуации с полным сечением \(\theta = 90^{\circ}\) и \(\sin^2{90^{\circ}} = 1\).
8. Теперь подставим все данные в формулу: \(S = \pi \cdot \frac{25}{2} \cdot 1 = \frac{25\pi}{2}\).

Итак, площадь сечения, полученного плоскостью, проведенной через точку, находящуюся на расстоянии 5 дм от центра сферы, равна \(\frac{25\pi}{2}\) (квадратные дециметры) или приблизительно 39,27 (квадратные дециметры).