Как найти решение следующей системы уравнений: 4x-5y=3 и 2x+10y=23?

Moroznyy_Polet

49

Хорошо, чтобы решить данную систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания. Давайте воспользуемся методом сложения/вычитания (этот метод обычно более удобен, когда коэффициенты при одной из переменных противоположны).

Дано:
\[
\begin{align*}
4x - 5y &= 3 \quad (1)\\
2x + 10y &= 23 \quad (2)
\end{align*}
\]

Для начала, умножим уравнение (2) на 2, чтобы коэффициент перед \(x\) совпал с коэффициентом перед \(x\) в уравнении (1). Мы получим:

\[
4x + 20y = 46 \quad (3)
\]

Теперь давайте вычтем уравнение (1) из уравнения (3), чтобы убрать переменную \(x\). Получим:

\[
(4x + 20y) - (4x - 5y) = 46 - 3
\]

Производя вычисления, упростим это выражение:

\[
4x - 4x + 20y + 5y = 46 - 3
\]

\[
25y = 43
\]

Теперь разделим обе части уравнения на 25:

\[
\frac{25y}{25} = \frac{43}{25}
\]

\[
y = \frac{43}{25}
\]

Итак, мы нашли значение \(y\). Теперь, чтобы найти значение \(x\), мы можем подставить \(y = \frac{43}{25}\) в любое из исходных уравнений (1) или (2). Давайте подставим в уравнение (1):

\[
4x - 5\left(\frac{43}{25}\right) = 3
\]

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение \(x\). Приведем его к общему знаменателю:

\[
4x - \frac{215}{25} = 3
\]

\[
4x - \frac{215}{25} = \frac{75}{25}
\]

\[
4x - \frac{215}{25} = \frac{3}{1}
\]

Чтобы избавиться от дроби, умножим все части уравнения на 25:

\[
25 \cdot (4x) - 215 = 3 \cdot 25
\]

\[
100x - 215 = 75
\]

Теперь, сложим 215 с обеих сторон уравнения:

\[
100x - 215 + 215 = 75 + 215
\]

\[
100x = 290
\]

Окончательно, поделим обе части уравнения на 100:

\[
\frac{100x}{100} = \frac{290}{100}
\]

\[
x = \frac{290}{100}
\]

\[
x = \frac{29}{10}
\]

Таким образом, получаем решение системы уравнений: \(x = \frac{29}{10}\) и \(y = \frac{43}{25}\).