Каковы условия, при которых (5х+2 )²≥(4-2х)² будет выполняться?

Морской_Капитан_134

17

Для начала, нам нужно решить данное неравенство. Давайте разберемся.

Данное неравенство имеет вид: \((5x + 2)^2 \geq (4 - 2x)^2\).

Для решения неравенства, мы можем применить следующие шаги:

1. Используем правило квадрата суммы для обоих сторон неравенства:

\((5x + 2)^2 \geq (4 - 2x)^2\)

\(25x^2 + 20x + 4 \geq 16 - 16x + 4x^2\)

2. Упорядочим выражение так, чтобы все слагаемые находились на одной стороне:

\(25x^2 + 20x + 4 - 16 + 16x - 4x^2 \geq 0\)

\(-21x^2 + 36x - 12 \geq 0\)

3. Упростим неравенство:

\(-21x^2 + 36x - 12 \geq 0\)

Это квадратное неравенство.

4. Чтобы найти условия, при которых неравенство выполняется, мы можем использовать график или метод интервалов.

5. Наиболее простым способом является использование метода интервалов. Для этого, найдем корни уравнения:

\(-21x^2 + 36x - 12 = 0\)

Используя квадратное уравнение, найдем корни:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Для данного уравнения, коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) равны -21, 36 и -12 соответственно. Подставляя значения, получаем:

\(x = \frac{-36 \pm \sqrt{36^2 - 4(-21)(-12)}}{2(-21)}\)

\(x = \frac{-36 \pm \sqrt{1296 - 1008}}{-42}\)

\(x = \frac{-36 \pm \sqrt{288}}{-42}\)

\(x = \frac{-36 \pm 12\sqrt{2}}{-42}\)

Упрощая полученное выражение, получаем:

\(x = \frac{6 \pm \sqrt{2}}{7}\)

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = \frac{6 + \sqrt{2}}{7}\) и \(x_2 = \frac{6 - \sqrt{2}}{7}\).

6. Теперь мы можем построить интервальную линию для понимания условий, при которых \((-21x^2 + 36x - 12) \geq 0\) выполняется. Если рассмотреть график функции \(y = -21x^2 + 36x - 12\), мы увидим, что ниже оси абсцисс значения функции положительны. Будем интересоваться значениями x, которые находятся вне интервалов между двумя корнями.

Итак, условия, при которых неравенство \((5x + 2)^2 \geq (4 - 2x)^2\) выполняется, это \(x < \frac{6 - \sqrt{2}}{7}\) и \(x > \frac{6 + \sqrt{2}}{7}\).

Подведем итог: Неравенство \((5x + 2)^2 \geq (4 - 2x)^2\) выполнится, когда \(x\) находится вне интервалов \(\left(\frac{6 - \sqrt{2}}{7}, \frac{6 + \sqrt{2}}{7}\right)\).