1. У трикутнику ABC з рівними сторонами AB і BC вписане коло з центром O. а) Доведіть, що трикутник AOC також

Solnce_V_Gorode

4

а) Щоб довести, що трикутник AOC є рівнобедреним, нам потрібно показати, що сторони AO і OC мають однакову довжину.

Спочатку звернімось до властивостей кола, вписаного в трикутник ABC. Одна з цих властивостей говорить нам, що дотична до кола в точці дотику є перпендикулярною до відрізка, який з"єднує центр кола з цією точкою дотику. У нашому випадку, тому що AB і BC є рівними, то точки дотику кінців цих сторін з колом будуть мати однакову відстань від центра кола та, відповідно, ця відстань є перпендикулярною.

Позначимо точку дотику сторони AB з колом як D, а точку дотику сторони BC з колом як E. Тепер ми можемо побачити, що OD і OE є відрізками, які з"єднують центр кола O з точками дотику D та E відповідно. Оскільки AD і BE є радіусами кола, то вони мають однакову довжину.

Таким чином, ми маємо AD = BE. З іншого боку, за умовою AB = BC, отже, AD = BC і AE = AB.

Отже, маємо AD = BE = BC і AE = AB. Це означає, що AO = OC, і ми довели, що трикутник AOC є рівнобедреним.

б) Щоб знайти величину кута ABC, використаємо властивість вписаного кута. Вона означає, що кут, утворений двома хордами (або сторонами), які починаються в одній точці (у нашому випадку, точці B) та закінчуються на колі, дорівнює півсумі кутів цих сторінок, що запили саме цю хорду.

Отже, для нашої задачі, кут BAC дорівнює половині міри кута BOC:

\[\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \angle BOC\]

Ми знаємо, що \(\angle AOC = 100^\circ\), тому:

\[\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ\]

Таким чином, величина кута ABC дорівнює \(50^\circ\).