Как найти результирующий момент сил, действующий на вращающееся тело в момент времени t, если даны закон изменения угла

Викторовна_2485

55

Для начала, нам необходимо найти производную от закона изменения угла вращения \(\phi(t)\) для определения скорости вращения тела. Затем мы можем использовать это значение, чтобы найти момент инерции и, наконец, вычислить результирующий момент сил.

Окей, давайте начнем.

Шаг 1: Найдем скорость вращения тела, \(\omega(t)\), путем нахождения производной от угла \(\phi(t)\):
\[\omega(t) = \frac{{d\phi}}{{dt}}\]

Для нашего случая, где \(\phi(t) = a + \frac{b}{t} + ct^2\), мы получаем:
\[\omega(t) = \frac{{d\phi}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}\left(a + \frac{b}{t} + ct^2\right)\]

Производная первого слагаемого равна нулю, потому что константа не зависит от времени.

Производная второго слагаемого будет:
\[\frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{{b}}{{t}}\right) = -\frac{{b}}{{t^2}}\]

Производная третьего слагаемого будет:
\[\frac{{d}}{{dt}}\left(ct^2\right) = 2ct\]

Теперь мы можем взять эти производные и составить уравнение для скорости вращения \(\omega(t)\):
\[\omega(t) = 0 - \frac{{b}}{{t^2}} + 2ct\]

Шаг 2: Теперь, чтобы найти момент инерции \(I\) вращающегося тела, мы используем формулу:

\[I = mr^2\]

где \(m\) - масса тела, а \(r\) - радиус тела.

Для нашего случая, \(m = 200 \, \text{г}\) и \(r\) - заданное значение.

Шаг 3: И наконец, мы можем вычислить результирующий момент сил \(M(t)\), действующий на вращающееся тело в момент времени \(t\), с использованием формулы:

\[M(t) = I \cdot \alpha(t)\]

где \(I\) - момент инерции, а \(\alpha(t)\) - угловое ускорение тела.

Угловое ускорение \(\alpha(t)\) определяется как производная скорости вращения:

\(\alpha(t) = \frac{{d\omega}}{{dt}}\)

Теперь, вычислим \(\alpha(t)\):
\[\alpha(t) = \frac{{d\omega}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}\left(0 - \frac{{b}}{{t^2}} + 2ct\right)\]

Производная первого слагаемого снова равна нулю.

Производная второго слагаемого:
\[\frac{{d}}{{dt}}\left(- \frac{{b}}{{t^2}}\right) = \frac{{2b}}{{t^3}}\]

Производная третьего слагаемого:
\[\frac{{d}}{{dt}}\left(2ct\right) = 2c\]

Теперь мы можем взять эти производные и составить уравнение для углового ускорения \(\alpha(t)\):
\[\alpha(t) = 0 + \frac{{2b}}{{t^3}} + 2c\]

Итак, мы получили уравнение для углового ускорения \(\alpha(t)\). Теперь мы можем вычислить результирующий момент сил \(M(t)\), подставив найденные значения в формулу:
\[M(t) = I \cdot \alpha(t)\]

После подстановки значений в уравнение, мы получим окончательное значение результирующего момента сил, действующего на вращающееся тело в момент времени \(t\).