Как найти стороны и углы треугольника АВС, если известно, что сторона BC равна 8 см, угол А равен 30° и угол В равен

Вадим_3458

25

Чтобы найти стороны и углы треугольника АВС, мы можем использовать Теорему синусов. Эта теорема устанавливает соотношение между сторонами и углами в треугольнике.

Теорема синусов гласит: в произвольном треугольнике отношение каждой стороны к синусу противолежащего ей угла равно одной и той же величине. Формула для применения этой теоремы выглядит следующим образом:

\[\frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{С}}\]

где a, b и c - длины сторон треугольника, A, B и C - соответствующие углы.

Нам даны значения стороны BC, угла А и угла В. Для нахождения сторон и углов мы можем использовать формулу для каждого отношения:

\[\frac{AB}{\sin{A}} = \frac{BC}{\sin{B}} = \frac{AC}{\sin{C}}\]

Для начала, нам нужно найти значение третьего угла треугольника С. Так как сумма углов треугольника равна 180°, мы можем вычислить угол C по формуле:

\[C = 180° - A - B\]
\[C = 180° - 30° - 120°\]
\[C = 30°\]

Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти стороны треугольника.

\[\frac{AB}{\sin{A}} = \frac{BC}{\sin{B}} = \frac{AC}{\sin{С}}\]

Для нахождения стороны AB, мы можем использовать соотношение:

\[\frac{AB}{\sin{A}} = \frac{BC}{\sin{B}}\]
\[\frac{AB}{\sin{30°}} = \frac{8}{\sin{120°}}\]

Для вычисления значения синусов используем таблицу или калькулятор. Синус 30° равен 0,5, а синус 120° равен √3/2.

\[\frac{AB}{0,5} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Для нахождения AB умножим обе стороны на 0,5:

\[AB = 8 \cdot \frac{0,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упростим выражение, обратив внимание на дробь в знаменателе:
\[AB = 8 \cdot \frac{0,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 16 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}\]

Таким образом, сторона AB равна \(\frac{16}{\sqrt{3}}\) см.

Теперь найдем сторону AC, используя соотношение:

\[\frac{AC}{\sin{C}} = \frac{BC}{\sin{B}}\]
\[\frac{AC}{\sin{30°}} = \frac{8}{\sin{120°}}\]

Используя значения синусов из предыдущих вычислений:

\[\frac{AC}{0,5} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Умножим обе стороны на 0,5, чтобы найти AC:

\[AC = 8 \cdot \frac{0,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упростим выражение:

\[AC = 8 \cdot \frac{0,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 16 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}\]

Следовательно, сторона AC также равна \(\frac{16}{\sqrt{3}}\) см.

Итак, мы получили стороны треугольника AB и AC, оба равны \(\frac{16}{\sqrt{3}}\) см.

Чтобы найти третью сторону, BC, мы уже знаем, что ее длина составляет 8 см, поскольку это дано в условии задачи.

Таким образом, сторона AB равна \(\frac{16}{\sqrt{3}}\) см, сторона AC также равна \(\frac{16}{\sqrt{3}}\) см, а сторона BC равна 8 см. Все углы треугольника также известны: А = 30°, B = 120° и С = 30°. Это полные и подробные ответы на вашу задачу.