Как найти сумму тех членов числового ряда, модуль которых больше или равен заданному числу е? В общем виде, каждый член

Синица

8

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам нужно найти сумму членов числового ряда, модуль которых больше или равен заданному числу е. Формула для вычисления каждого члена ряда дана как a(n) = \(\frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2}\). Давайте рассмотрим решение пошагово.

Шаг 1: Нам нужно сначала записать сумму всех членов ряда, обозначим ее как S.

Шаг 2: Запишем первое слагаемое суммы, которое модуль больше или равен е. В нашем случае это \(\frac{1}{2}\). То есть, \(a(1) = \frac{1}{2}\).

Шаг 3: Запишем второе слагаемое. У нас есть формула для каждого члена ряда: \(a(n) = \frac{1}{3n^2}\). В нашем случае, чтобы найти член ряда, модуль которого больше или равен е, нам нужно для каждого n найти такое значение, что \(\frac{1}{3n^2}\) больше или равно е. Найдем n, удовлетворяющее этому условию:

\(\frac{1}{3n^2} \geq e\)

Умножим обе части неравенства на \(3n^2\):

\(1 \geq 3ne\)

Разделим обе части неравенства на 3e:

\(\frac{1}{3e} \geq n\)

То есть, n должно быть больше или равно \(\frac{1}{3e}\). Обозначим это значение как n0.

Шаг 4: Теперь мы можем записать сумму всех членов ряда.

S = \(a(1) + a(2) + a(3) + \ldots + a(n0)\)

S = \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3 \cdot 1^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 3^2} + \ldots + \frac{1}{3 \cdot n0^2}\)

Шаг 5: Подставим значение n0, которое мы рассчитали в шаге 3.

S = \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3 \cdot 1^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 3^2} + \ldots + \frac{1}{3 \cdot \left(\frac{1}{3e}\right)^2}\)

Шаг 6: Теперь давайте упростим выражение в знаменателях.

\(\frac{1}{3 \cdot 1^2}\) - упрощается до \(\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{3 \cdot 2^2}\) - упрощается до \(\frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{3 \cdot 3^2}\) - упрощается до \(\frac{1}{27}\)

И так далее...

Шаг 7: Подставим уже упрощенные значения обратно в сумму.

S = \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \frac{1}{27} + \ldots + \frac{1}{3 \cdot \left(\frac{1}{3e}\right)^2}\)

Шаг 8: Чтобы получить ответ, нужно вычислить эту сумму. Получившееся выражение представляет собой сумму бесконечного ряда, поэтому мы не можем точно рассчитать соответствующее число. Однако, если мы ограничим количество слагаемых, мы можем приблизить значение суммы.

Вот и все! Мы получили шаги, чтобы найти сумму членов числового ряда, модуль которых больше или равен заданному числу е, используя заданную формулу. Каждый шаг пошагово объясняет, как мы получили ответ. Помните, что вы можете приблизить значение суммы, ограничив количество слагаемых.