Как найти точку максимума функции y=x^3+15x^2+17?

Котенок

44

Конечно, я могу помочь вам решить данную задачу!

Чтобы найти точку максимума функции y = x^3 + 15x^2 + 17, мы можем использовать производную функции. Производная функции покажет нам, где находятся экстремальные точки, включая точки максимума или минимума. Начнем с вычисления производной.

Шаг 1: Вычисление производной
Чтобы найти производную функции y = x^3 + 15x^2 + 17, нам нужно взять производную каждого слагаемого. Производная степенного слагаемого x^n равна n * x^(n-1).

Вот как это выглядит для нашей функции:
y" = 3x^2 + 30x

Шаг 2: Нахождение точек, где производная равна нулю
Мы знаем, что точка максимума или минимума функции находится там, где производная функции равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку максимума, мы должны найти корни производной.

Для этого мы решим уравнение:
3x^2 + 30x = 0

Шаг 3: Решение уравнения
Получаем уравнение:
x(3x + 30) = 0

Из этого уравнения мы видим два возможных значения x:
x = 0 или 3x + 30 = 0

Решим второе уравнение:
3x + 30 = 0
3x = -30
x = -10

Таким образом, у нас есть две точки, где производная равна нулю: x = 0 и x = -10.

Шаг 4: Определение типа экстремальной точки
Теперь мы должны определить, является ли каждая из найденных точек экстремальной точкой максимума или минимума. Для этого мы можем использовать вторую производную метода.

Производная второго порядка функции y = x^3 + 15x^2 + 17 равна:
y"" = 6x + 30

Шаг 5: Подстановка значений для определения типа экстремальной точки
Теперь мы подставим значения x = 0 и x = -10 во вторую производную и проверим их знак.

Для x = 0:
y""(0) = 6(0) + 30 = 30

Для x = -10:
y""(-10) = 6(-10) + 30 = -60 + 30 = -30

Шаг 6: Определение типов экстремальных точек
Если y""(x) > 0, то у нас есть точка минимума. Если y""(x) < 0, то у нас есть точка максимума. Если y""(x) = 0, это может быть точка перегиба.

Для x = 0, y""(0) = 30 > 0, поэтому точка x = 0 является точкой минимума.
Для x = -10, y""(-10) = -30 < 0, поэтому точка x = -10 является точкой максимума.

Ответ:
Точка максимума функции y = x^3 + 15x^2 + 17 находится при x = -10. Значение функции в этой точке равно y = (-10)^3 + 15(-10)^2 + 17. Вычислив это значение, мы получим точность.

Пожалуйста, обратите внимание, что этот метод основан на математике и используется для поиска экстремальных точек функций. Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, сообщите мне!