Как найти точку пересечения медиан треугольника с вершинами в точках А (-3; 1), В (7; 5) и С

Malysh

14

Чтобы найти точку пересечения медиан треугольника с вершинами А (-3; 1), В (7; 5) и С (x₃; y₃), мы можем использовать формулы для нахождения координат точки пересечения медиан треугольника.

Медианы треугольника - это отрезки, соединяющие каждую вершину этого треугольника с противоположной серединой. Чтобы найти середину отрезка, мы можем использовать формулу:

xₘ = (x₁ + x₂) / 2, yₘ = (y₁ + y₂) / 2,

где (xₘ; yₘ) - координаты середины отрезка с конечными точками (x₁; y₁) и (x₂; y₂).

Теперь, чтобы найти точку пересечения медиан, нам нужно найти середину для каждой пары вершин и найти их пересечение.

Для первой медианы, соединяющей вершину А с серединой отрезка BC, найдем координаты середины отрезка BC:

\(xₘ₁ = (x₂ + x₃) / 2, yₘ₁ = (y₂ + y₃) / 2\).

Подставляя значения координат вершин треугольника, получим:

\(xₘ₁ = (7 + x₃) / 2, yₘ₁ = (5 + y₃) / 2\).

Проделаем то же самое для остальных двух медиан:

Вторая медиана, соединяющая B и середину отрезка AC:

\(xₘ₂ = (x₁ + x₃) / 2, yₘ₂ = (y₁ + y₃) / 2\).

Третья медиана, соединяющая C и середину отрезка AB:

\(xₘ₃ = (x₁ + x₂) / 2, yₘ₃ = (y₁ + y₂) / 2\).

Теперь у нас есть три уравнения для медиан треугольника. Чтобы найти точку их пересечения, нужно решить систему этих уравнений.

Подставив значения координат вершин треугольника, получим:

\(
(x₃ + 7) / 2 = (x₃ + x₁) / 2,
(5 + y₃) / 2 = (y₃ + y₁) / 2,
(x₃ + x₁) / 2 = (x₂ + x₁) / 2,
(y₃ + y₁) / 2 = (y₂ + y₁) / 2
\).

Мы можем упростить это уравнение, выполнив алгебраические операции:

\(
x₃ + 7 = x₃ + x₁,
5 + y₃ = y₃ + y₁,
x₃ + x₁ = x₂ + x₁,
y₃ + y₁ = y₂ + y₁
\).

Очевидно, что координата x₁ упрощается, и у нас остаются следующие уравнения:

\(
7 = x₃,
5 + y₃ = y₃ + 1,
y₃ + 1 = 5,
x₃ + (x₂ - x₁) = (x₁ + x₂ - x₁) / 2,
y₃ + (y₂ - y₁) = (y₁ + y₂ - y₁) / 2
\).

Из первого уравнения мы находим, что x₃ = 7. Отсюда следует, что y₃ = 5 + 1 = 6.

Таким образом, точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках А (-3; 1), В (7; 5) и С (7; 6).