Как найти значения x, для которых уравнение 2/tg^2x+7/tgx+5=0 в интервале от 3pi до 4pi?

Maksim

37

Чтобы найти значения x, для которых уравнение \(\frac{2}{\tg^2x}+\frac{7}{\tg x}+5=0\) выполняется в интервале от \(3\pi\) до \(4\pi\), мы сначала приведем уравнение к одной равносильной форме, а затем найдем его корни.

1. Приведение уравнения к общему знаменателю:
Сначала заметим, что \(\tg^2x = (\sin x / \cos x)^2 = \frac{(\sin^2x)}{(\cos^2x)}\).
Заменим \(\tg^2x\) на \(\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\) в нашем уравнении:
\(\frac{2}{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}+\frac{7}{\tg x}+5 = 0\).

Общий знаменатель будет \(\cos^2x\), поэтому перепишем уравнение:
\(\frac{2\cos^2x}{\sin^2x}+\frac{7}{\tg x}\cos^2x+5\cos^2x = 0\).

2. Обобщение одним знаменателем:
Чтобы обобщить уравнение с единственным знаменателем, перемножим все члены на \(\sin^2x\) (или \(\cos^2x\)) для получения:
\(2\cos^2x+\frac{7}{\sin x}\cos^2x\sin^2x+5\cos^2x\sin^2x = 0\).

Это дает нам следующее уравнение, которое мы можем упростить:
\(2\cos^2x+7\cos^2x\sin x+5\cos^2x\sin^2x = 0\).

3. Факторизация уравнения:
Вынесем общий множитель \(\cos^2x\) из всех членов:
\(\cos^2x(2+7\sin x+5\sin^2x) = 0\).

Теперь мы можем разбить уравнение на два случая:
\(\cos^2x = 0\) и \(2+7\sin x+5\sin^2x = 0\).

4. Решение первого случая:
\(\cos^2x = 0\) означает, что \(\cos x = 0\). Поскольку интервал, в котором мы ищем решение, от \(3\pi\) до \(4\pi\), то можно заметить, что корни этого уравнения находятся при \(x = \frac{3\pi}{2}\) и \(x = \frac{4\pi}{2}\).

5. Решение второго случая:
Для уравнения \(2+7\sin x+5\sin^2x = 0\) нет простого аналитического решения. Мы можем решить его численно, используя методы численного анализа, такие как метод половинного деления или метод Ньютона.

Однако, поскольку вы запрашиваете подробный ответ для школьника, предлагаю использовать графический метод для приближенного нахождения корней этого уравнения.

Нарисуем график функции \(f(x) = 2+7\sin x+5\sin^2x\) в интервале от \(3\pi\) до \(4\pi\).

Когда график пересекает ось \(x\) (это означает, что значение функции равно нулю), мы найдем приближенные значения корней уравнения.

Запустим теперь параллельное выполнение этого запроса для построения графика и нахождения корней.