Если уже известно, что площадь треугольника ABC равна 58,5 см2 и сторона AC равна 10⋅√3 см, то какой будет острый угол

Снегирь

64

У нас есть треугольник ABC, где площадь равна 58,5 см² и сторона AC равна 10⋅√3 см. Нам нужно найти острый угол A в градусах, используя данную информацию.

Для начала, давайте вспомним формулу для площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]

Мы знаем, что площадь треугольника равна 58,5 см². Пусть основание треугольника будет сторона AC, а высоту будем обозначать как h. Тогда мы можем записать формулу для площади:

\[ 58,5 = \frac{1}{2} \times AC \times h \]

Так как одна из сторон треугольника, AC, равна 10⋅√3 см, мы можем подставить это значение в уравнение:

\[ 58,5 = \frac{1}{2} \times (10\sqrt{3}) \times h \]

Упростив это уравнение, получим:

\[ 58,5 = 5\sqrt{3} \times h \]

Теперь давайте найдем высоту треугольника:

\[ h = \frac{58,5}{5\sqrt{3}} \]

Чтобы упростить это, домножим и числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[ h = \frac{58,5 \times \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \]

\[ h = \frac{58,5\sqrt{3}}{5 \times 3} \]

Упрощая это, получаем:

\[ h = \frac{58,5\sqrt{3}}{15} \]

Теперь, когда у нас есть высота треугольника, мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти острый угол A. Формула для теоремы синусов выглядит следующим образом:

\[ \sin(A) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} \]

В нашем случае, противолежащая сторона - это высота треугольника, а гипотенуза - сторона AC. Подставим значения:

\[ \sin(A) = \frac{\frac{58,5\sqrt{3}}{15}}{10\sqrt{3}} \]

Упростим:

\[ \sin(A) = \frac{58,5\sqrt{3}}{15 \times 10\sqrt{3}} \]

\[ \sin(A) = \frac{58,5}{15 \times 10} \]

\[ \sin(A) = \frac{58,5}{150} \]

\[ \sin(A) = 0,39 \]

Теперь, чтобы найти острый угол A, возьмем обратный синус 0,39 (обозначается \(\sin^{-1}\)):

\[ A = \sin^{-1}(0,39) \]

Посчитаем это значение с помощью калькулятора или таблицы тригонометрических функций и округлим до ближайшего градуса.

Итак, острый угол A ≈ 23° (округленное значение).

Таким образом, острый угол A в треугольнике ABC составляет примерно 23 градуса.