Как нужно ориентировать вектор a→ в плоскости xOy, чтобы его проекция на ось Ox имела длину, равную 14 ед.?

Mister

70

Чтобы ориентировать вектор \(\vec{a} \rightarrow\) в плоскости \(xOy\) так, чтобы его проекция на ось \(Ox\) имела длину 14, мы должны учесть следующее:

1. При ориентации вектора \(\vec{a} \rightarrow\) в плоскости \(xOy\), мы рассматриваем только две из трех координатных осей: \(x\) и \(y\). Вектор не имеет проекции на ось \(Oz\).
2. Проекция вектора \(\vec{a} \rightarrow\) на ось \(Ox\) равна \(a_x\).
3. Длина проекции вектора на ось \(Ox\) рассчитывается по формуле: \(|\vec{a} \rightarrow| \cdot \cos(\theta)\), где \(\theta\) - угол между вектором \(\vec{a} \rightarrow\) и положительным направлением оси \(Ox\).
4. Нам дано, что длина проекции вектора на ось \(Ox\) должна быть равна 14.

Следовательно, чтобы решить задачу, нам нужно найти угол \(\theta\), который соответствует заданной длине проекции. Давайте решим эту задачу:

Для начала, обратимся к основным свойствам косинуса:

\[\cos(\theta) = \frac{{\text{прилежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}}\]

Мы знаем, что длина проекции вектора на ось \(Ox\) равна 14, а гипотенуза - это длина всего вектора \(|\vec{a} \rightarrow|\). Пусть \(|\vec{a} \rightarrow| = d\) - длина вектора \(\vec{a} \rightarrow\). Тогда мы можем записать:

\[\cos(\theta) = \frac{{a_x}}{{d}}\]

Далее, по теореме Пифагора:

\[d = \sqrt{{a_x^2 + a_y^2}}\]

Таким образом, мы получаем:

\[\cos(\theta) = \frac{{a_x}}{{\sqrt{{a_x^2 + a_y^2}}}}\]

Теперь мы должны найти угол \(\theta\), удовлетворяющий условию \(\cos(\theta) = \frac{{a_x}}{{\sqrt{{a_x^2 + a_y^2}}}}\). Раскроем косинус обратным тригонометрическим отношением (арккосинус), чтобы найти значение угла \(\theta\):

\[\theta = \arccos\left(\frac{{a_x}}{{\sqrt{{a_x^2 + a_y^2}}}}\right)\]

Теперь, когда мы знаем угол \(\theta\), мы можем ориентировать вектор \(\vec{a} \rightarrow\) на плоскости \(xOy\), чтобы его проекция на ось \(Ox\) имела длину 14, следуя этим шагам:

1. Найдите значение \(a_x\) - проекцию вектора на ось \(Ox\) - с помощью формулы \(a_x = 14\).
2. Найдите значение \(a_y\) - координату в плоскости \(xOy\) - с помощью любой дополнительной информации, предоставленной в вопросе или каким-либо другим способом.
3. Рассчитайте угол \(\theta\) с использованием формулы \(\theta = \arccos\left(\frac{{a_x}}{{\sqrt{{a_x^2 + a_y^2}}}}\right)\).
4. Ориентируйте вектор \(\vec{a} \rightarrow\) на плоскости \(xOy\) таким образом, чтобы угол между ним и положительным направлением оси \(Ox\) был равен найденному значению \(\theta\).

Теперь задача полностью решена, и вы знаете, как ориентировать вектор \(\vec{a} \rightarrow\) в плоскости \(xOy\), чтобы его проекция на ось \(Ox\) имела длину 14.