Какое значение n позволит разложить вектор a (12; 3; -7) по векторам b (3; n; -2) и c (-2; 3; 1)? Найдите

Ledyanoy_Drakon

28

Чтобы разложить вектор a (12; 3; -7) по векторам b (3; n; -2) и c (-2; 3; 1), мы должны представить вектор a в виде их линейной комбинации. Обозначим это разложение как:

a = x * b + y * c,

где x и y являются коэффициентами разложения.

Теперь мы можем записать данное уравнение для каждой из компонент вектора a:

12 = 3x - 2y,
3 = nx + 3y,
-7 = -2x + y.

Теперь решим эту систему уравнений методом подстановки.

Из первого уравнения имеем:

x = (12 + 2y) / 3.

Подставим это выражение для x во второе уравнение:

3 = n((12 + 2y) / 3) + 3y.

Упростим это уравнение:

9 = 12n + 2ny + 9y.

Сгруппируем похожие члены:

2ny + 9y = 9 - 12n.

Вынесем общий множитель:

y(2n + 9) = 9 - 12n.

Учитывая, что y не равно нулю, мы можем разделить оба выражения на y:

2n + 9 = (9 - 12n) / y.

Теперь решим полученное уравнение относительно n, с учетом ограничения y ≠ 0.

2n + 9 = (9 - 12n) / y.

Умножим обе части уравнения на y:

2ny + 9y = 9 - 12n.

Раскроем скобки:

2ny + 9y = 9 - 12n.

Перенесём все члены с переменной n в одну сторону, а все остальные члены - в другую:

2ny + 12n + 9y = 9.

Поскольку данное уравнение должно выполняться для любых значений n и y, то соответствующие коэффициенты должны равняться нулю:

2y + 12 = 0,
2n + 9 = 0.

Решим первое уравнение относительно y:

2y = -12,
y = -12 / 2,
y = -6.

Теперь найдем n, решив второе уравнение:

2n = -9,
n = -9 / 2,
n = -4.5.

Итак, значение n, позволяющее разложить вектор a (12; 3; -7) по векторам b (3; n; -2) и c (-2; 3; 1), равно -4.5. Также мы нашли коэффициент разложения y, который равен -6.