Как нужно решить уравнение cos(x/3+pi/4) = корень?

Магнитный_Магнат

59

Для решения уравнения \(\cos\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\), нам необходимо применить определенные шаги:

Шаг 1: Приведение уравнения к виду \(\cos\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\).

Мы заменяем \(\sqrt{2}\) выражением \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\), так как значения этих выражений равны.

Шаг 2: Для равенства \(\cos(a) = \cos(b)\) справедливо одно из двух условий:
- \(a = b + 2\pi k\), где \(k\) - целое число,
- \(a = -b + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

В нашем случае, у нас имеется равенство \(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\) или \(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k\).

Шаг 3: Решим первое уравнение \(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\).

Вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из обеих частей уравнения.

\[\frac{x}{3} = 2\pi k\]

Теперь умножим обе части уравнения на 3.

\[x = 6\pi k\]

Таким образом, мы получили первое решение \(x = 6\pi k\) для уравнения.

Шаг 4: Решим второе уравнение \(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k\).

Вычитаем \(\frac{\pi}{4}\) из обеих частей уравнения.

\[\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\]

Умножаем обе части на 3.

\[x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi k\]

Так мы получили второе решение \(x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi k\) для уравнения.

В итоге, уравнение \(\cos\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\) имеет два набора решений:
\(x = 6\pi k\) и \(x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi k\), где \(k\) - целое число.