Как описать элемент an последовательности {an}?

Moroznyy_Korol

39

Элемент an последовательности может быть описан различными способами, в зависимости от типа последовательности и способа ее задания.

1. Арифметическая последовательность:
Если последовательность является арифметической, то каждый элемент an может быть найден по формуле:
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\),
где \(a_n\) - n-ый элемент последовательности, \(a_1\) - первый элемент последовательности, \(d\) - разность между соседними элементами последовательности. В такой последовательности каждый следующий элемент отличается от предыдущего на постоянную величину \(d\).

Для примера, рассмотрим арифметическую последовательность с первым элементом \(a_1 = 3\) и разностью между элементами \(d = 2\). Чтобы найти пятый элемент \(a_5\) данной последовательности, мы можем подставить соответствующие значения в формулу:
\(a_5 = 3 + (5-1) \cdot 2 = 3 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11\).
Таким образом, пятый элемент данной последовательности будет равен 11.

2. Геометрическая последовательность:
Если последовательность является геометрической, то каждый элемент an может быть найден по формуле:
\(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\),
где \(a_n\) - n-ый элемент последовательности, \(a_1\) - первый элемент последовательности, \(r\) - множитель, по которому каждый следующий элемент отличается от предыдущего. В такой последовательности значение \(r\) остается постоянным.

Например, рассмотрим геометрическую последовательность с первым элементом \(a_1 = 2\) и множителем \(r = 3\). Чтобы найти третий элемент \(a_3\) данной последовательности, мы можем применить формулу:
\(a_3 = 2 \cdot 3^{(3-1)} = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18\).
Таким образом, третий элемент данной последовательности будет равен 18.

3. Другие типы последовательностей:
В некоторых случаях элементы последовательности могут быть определены более сложными способами, не подпадающими под арифметическую или геометрическую последовательности. В таких случаях описание элементов может быть дано в виде текста или приведено в виде таблицы, в которой указаны значения каждого элемента.

Например, рассмотрим последовательность \(a_n = \frac{n(n+1)}{2}\) для \(n\) от 1 до 5. В данном случае, чтобы описать каждый элемент последовательности, мы можем просто вычислить значения:
\(a_1 = \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\),
\(a_2 = \frac{2 \cdot (2+1)}{2} = \frac{6}{2} = 3\),
\(a_3 = \frac{3 \cdot (3+1)}{2} = \frac{12}{2} = 6\),
\(a_4 = \frac{4 \cdot (4+1)}{2} = \frac{20}{2} = 10\),
\(a_5 = \frac{5 \cdot (5+1)}{2} = \frac{30}{2} = 15\).

Таким образом, элементы данной последовательности составляют: 1, 3, 6, 10, 15.

Всякий раз, когда описываете элемент последовательности, нашей целью является дать ясное объяснение школьному ученику, чтобы он мог легко понять предложенное решение. Важно использовать понятные термины, пошагово объяснять, каким образом получен ответ и использовать формулы, если они применимы для данного типа последовательности.