Как определить координаты начальной точки вектора, если известны координаты вектора и конечной точки?

Весенний_Лес

44

Чтобы определить координаты начальной точки вектора, если известны координаты вектора и конечной точки, нужно использовать формулу для координат вектора. Давайте разберемся!

Пусть у нас есть вектор \(\mathbf{AB}\) с конечной точкой \(B\) и известны его координаты: \((x_B, y_B)\). Для определения координат начальной точки \(\mathbf{A}\), нам необходимо знать направление и длину вектора.

Направление вектора \(\mathbf{AB}\) может быть определено по формулам:

\[
\Delta x = x_B - x_A
\]
\[
\Delta y = y_B - y_A
\]

где \(x_A\) и \(y_A\) - неизвестные координаты начальной точки вектора.

Длина вектора \(\mathbf{AB}\) может быть найдена по формуле:

\[
\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}
\]

Зная длину, мы можем установить масштаб исходной системы координат и пропорционально изменить вектор \(\mathbf{AB}\), чтобы его конечная точка совпала с заданной точкой \(B\).

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными переменными \(x_A\) и \(y_A\) - это формулы для направления вектора и длины вектора. Решив эти уравнения, мы сможем определить значения \(x_A\) и \(y_A\).

Приведу пример для более наглядного объяснения. Предположим, что мы имеем вектор \(\mathbf{AB}\) с конечной точкой \(B\) координатами (3, 4). Нужно найти координаты начальной точки \(\mathbf{A}\).

1. Определение направления вектора:
\(\Delta x = x_B - x_A\) -> \(3 = x_B - x_A\)
\(\Delta y = y_B - y_A\) -> \(4 = y_B - y_A\)

2. Определение длины вектора:
\(\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\) -> \(\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2}\) -> \(\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{9 + 16}\) -> \(\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{25}\) -> \(\|\mathbf{AB}\| = 5\)

Итак, у нас есть два уравнения:

\(3 = x_B - x_A\)
\(4 = y_B - y_A\)

И значение длины вектора: \(\|\mathbf{AB}\| = 5\)

Решим систему уравнений:

Из первого уравнения мы можем выразить \(x_A\):
\(x_A = x_B - 3\)

Подставим это значение во второе уравнение и найдем \(y_A\):
\(4 = y_B - y_A\) -> \(y_A = y_B - 4\)

Таким образом, мы определяем координаты начальной точки вектора \(\mathbf{A}\) как \(x_A = x_B - 3\) и \(y_A = y_B - 4\).

В нашем примере, если \(B(3, 4)\), то \(A(x_A, y_A)\) будет \(A(0, 0)\).