Как определить скалярное произведение векторов, зная, что сторона ромба ABCD имеет одинаковую длину?

Японка

2

Для определения скалярного произведения векторов в данной задаче, где сторона ромба ABCD имеет одинаковую длину, мы можем воспользоваться формулой для скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{u} = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix} \) и \( \vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} \) обозначается как \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) и определяется следующим образом:

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z \]

В нашей задаче у нас есть векторы, описывающие стороны ромба. Пусть векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) задают две стороны ромба, и они имеют одинаковую длину.

Допустим, вектор \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} \) и вектор \( \vec{AD} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} \).

Тогда скалярное произведение этих векторов будет выглядеть следующим образом:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \]

Если сторона ромба имеет одинаковую длину, это означает, что все элементы вектора \( \vec{AB} \) равны соответствующим элементам вектора \( \vec{AD} \). То есть:

\[ x_1 = x_2, \quad y_1 = y_2, \quad z_1 = z_2 \]

С учетом этого факта, мы можем записать скалярное произведение векторов в более простом виде:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = x_1 \cdot x_1 + y_1 \cdot y_1 + z_1 \cdot z_1 \]

Теперь, используя то, что сторона ромба имеет одинаковую длину, мы можем заменить \( x_1, y_1, z_1 \) на просто \( x, y, z \):

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = x \cdot x + y \cdot y + z \cdot z \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) равно \( x^2 + y^2 + z^2 \).

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять, как определить скалярное произведение векторов в данной задаче, где сторона ромба имеет одинаковую длину. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!