Как определить соотношение масс Солнца и Земли, исходя из того, что Луна делает 13 орбит в течение года, а среднее

Сэр_8741

39

Чтобы определить соотношение масс Солнца и Земли, мы можем использовать формулу гравитационного закона, которую выразил Исаак Ньютон. Гравитационный закон гласит:

\[ F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \]

где \( F \) - сила гравитации, \( G \) - гравитационная постоянная (приближенное значение \( 6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{с}^{-2} \)), \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы двух объектов, а \( r \) - расстояние между ними.

У нас есть две известные величины: Луна делает 13 орбит в течение года, а среднее расстояние от Солнца до Земли на 390 раз больше, чем расстояние от Луны до Земли. Обозначим массу Солнца как \( M_{\text{Солнца}} \), массу Земли как \( M_{\text{Земли}} \), расстояние от Луны до Земли как \( r_{\text{Луны}} \), а расстояние от Солнца до Земли как \( r_{\text{Солнца}} \).

Из условия задачи мы можем сделать следующие выводы:

\( r_{\text{Солнца}} = 390 \cdot r_{\text{Луны}} \)

Теперь, если мы рассмотрим гравитационную силу между Землей и Луной, то она может быть записана так:

\[ F_{\text{Луна}} = G \cdot \frac{M_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{Луны}}}{r_{\text{Луны}}^2} \]

Дано, что Луна делает 13 орбит в течение года. Это означает, что каждый круговой оборот Луны вокруг Земли составляет один год. Таким образом, можно сказать, что период обращения Луны \( T_{\text{Луны}} = 1 \) год. Период обращения Луны может быть связан с расстоянием Луны до Земли следующим образом:

\[ T_{\text{Луны}}^2 = \frac{4\pi^2}{G \cdot \frac{M_{\text{Земли}}}{r_{\text{Луны}}^3}} \]

Теперь, зная значение \( r_{\text{Солнца}} \), мы можем рассчитать период обращения Земли вокруг Солнца:

\[ T_{\text{Земли}}^2 = \frac{4\pi^2}{G \cdot \frac{M_{\text{Солнца}}}{r_{\text{Солнца}}^3}} \]

Теперь соотношение масс Солнца и Земли может быть найдено с помощью следующего соотношения:

\[ \frac{M_{\text{Солнца}}}{M_{\text{Земли}}} = \left( \frac{T_{\text{Земли}}}{T_{\text{Луны}}} \right)^2 \cdot \left( \frac{r_{\text{Солнца}}}{r_{\text{Луны}}} \right)^3 \]

Мы можем подставить известные значения \( T_{\text{Луны}} = 1 \) год, \( r_{\text{Солнца}} = 390 \cdot r_{\text{Луны}} \) и получить окончательное соотношение масс:

\[ \frac{M_{\text{Солнца}}}{M_{\text{Земли}}} = \left( \frac{T_{\text{Земли}}}{1} \right)^2 \cdot \left( \frac{390 \cdot r_{\text{Луны}}}{r_{\text{Луны}}} \right)^3 \]

\[ \frac{M_{\text{Солнца}}}{M_{\text{Земли}}} = \left( T_{\text{Земли}} \right)^2 \cdot \left( 390 \right)^3 \]

Остается только подставить значение \( T_{\text{Земли}} \). Период обращения Земли вокруг Солнца составляет около 365.25 дней, что равно примерно \( 365.25 \times 24 \) часов. Подставляя это значение в формулу, мы можем решить задачу и определить соотношение масс Солнца и Земли.

Пожалуйста, обратите внимание, что полученный ответ будет приблизительным, так как в формуле используются упрощения и исходят из предположения, что траектория Луны вокруг Земли является окружностью, что на самом деле не совсем точно.