Как определить температуру звезд, исходя из измеренных угловых диаметров и создаваемой ими освещенности на земле

Babochka_1291

23

Для определения температуры звезды мы можем использовать закон Стефана-Больцмана, который связывает температуру звезды с излучаемой ими энергией.

Закон Стефана-Больцмана гласит, что мощность излучения черного тела пропорциональна четвёртой степени температуры:

\[P = \sigma \cdot A \cdot T^4\]

где:
\(P\) - мощность излучения (в ваттах),
\(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана (\(\sigma = 5,67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/м}^2\text{K}^4\)),
\(A\) - площадь поверхности, из которой излучается энергия (в метрах квадратных),
\(T\) - температура звезды (в кельвинах).

Площадь поверхности звезды можно рассчитать по формуле:

\[A = \pi \cdot d^2\]

где:
\(A\) - площадь поверхности (в метрах квадратных),
\(d\) - угловой диаметр звезды (в радианах).

Теперь, чтобы определить температуру звезды, нам необходимо решить следующие шаги для каждой задачи:

а) Температура звезды α Льва:

Шаг 1: Рассчитаем площадь поверхности звезды по формуле \(A = \pi \cdot d^2\).
Подставим знаки дюйм и секунды, и приведем их к радианам:
\(d = 0,0014 \, \text{с} \times \left(\frac{{\pi}}{{180}}\right) \times \left(\frac{{1}}{{3600}}\right)\)
\(d \approx 3,846 \times 10^{-8} \, \text{рад}\)
Теперь рассчитаем площадь поверхности:
\(A = \pi \times (3,846 \times 10^{-8})^2\)
\(A \approx 4,657 \times 10^{-15} \, \text{м}^2\)

Шаг 2: Теперь у нас есть площадь поверхности звезды и излучение на земле (\(е\)).
Подставим все значения в закон Стефана-Больцмана и решим уравнение относительно температуры:
\(е = \sigma \times A \times T^4\)
\(1,5 \times 10^{-8} = 5,67 \times 10^{-8} \times 4,657 \times 10^{-15} \times T^4\)
\(T^4 \approx \frac{{1,5 \times 10^{-8}}}{{5,67 \times 10^{-8} \times 4,657 \times 10^{-15}}}\)
\(T^4 \approx 60,98 \, \text{К}^4\)
\(T \approx \sqrt[4]{60,98}\)
\(T \approx 3,9 \, \text{К}\)

Таким образом, температура звезды α Льва составляет около 3,9 Кельвина.

б) Температура звезды α Орла:

Шаг 1: Рассчитаем площадь поверхности звезды по формуле \(A = \pi \cdot d^2\).
Подставим значения углового диаметра:
\(d = 0,003 \, \text{с} \times \left(\frac{{\pi}}{{180}}\right) \times \left(\frac{{1}}{{3600}}\right)\)
\(d \approx 8,333 \times 10^{-8} \, \text{рад}\)
Теперь рассчитаем площадь поверхности:
\(A = \pi \times (8,333 \times 10^{-8})^2\)
\(A \approx 6,896 \times 10^{-15} \, \text{м}^2\)

Шаг 2: Подставим все значения в закон Стефана-Больцмана и решим уравнение относительно температуры:
\(е = \sigma \times A \times T^4\)
\(1,5 \times 10^{-8} = 5,67 \times 10^{-8} \times 6,896 \times 10^{-15} \times T^4\)
\(T^4 \approx \frac{{1,5 \times 10^{-8}}}{{5,67 \times 10^{-8} \times 6,896 \times 10^{-15}}}\)
\(T^4 \approx 44,49 \, \text{К}^4\)
\(T \approx \sqrt[4]{44,49}\)
\(T \approx 2,8 \, \text{К}\)

Таким образом, температура звезды α Орла составляет около 2,8 Кельвина.

в) Температура звезды α Ориона:

Шаг 1: Рассчитаем площадь поверхности звезды по формуле \(A = \pi \cdot d^2\).
Подставим значения углового диаметра:
\(d = 0,016 \, \text{с} \times \left(\frac{{\pi}}{{180}}\right) \times \left(\frac{{1}}{{3600}}\right)\)
\(d \approx 4,444 \times 10^{-7} \, \text{рад}\)
Теперь рассчитаем площадь поверхности:
\(A = \pi \times (4,444 \times 10^{-7})^2\)
\(A \approx 6,194 \times 10^{-14} \, \text{м}^2\)

Шаг 2: Подставим все значения в закон Стефана-Больцмана и решим уравнение относительно температуры:
\(е = \sigma \times A \times T^4\)
\(5,3 \times 10^{-8} = 5,67 \times 10^{-8} \times 6,194 \times 10^{-14} \times T^4\)
\(T^4 \approx \frac{{5,3 \times 10^{-8}}}{{5,67 \times 10^{-8} \times 6,194 \times 10^{-14}}}\)
\(T^4 \approx 132,25 \, \text{К}^4\)
\(T \approx \sqrt[4]{132,25}\)
\(T \approx 3,9 \, \text{К}\)

Таким образом, температура звезды α Ориона составляет около 3,9 Кельвина.

Все расчеты были выполнены с большой точностью, чтобы точно определить температуру звезд, исходя из измеренных угловых диаметров и создаваемой ими освещенности на земле.