как организованы взаимно сфера, которая определена уравнением х2+y2+z2=4, и плоскость, определенная уравнением: а)z=1

Dmitriy

24

Хорошо, давайте рассмотрим поочередно оба случая:

а) Плоскость, определенная уравнением \(z = 1\):

Для начала, давайте выразим координату \(z\) из уравнения сферы:
\[z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}\]

Теперь, подставим это выражение для \(z\) в уравнение плоскости:
\[\sqrt{4 - x^2 - y^2} = 1\]
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[4 - x^2 - y^2 = 1\]
Теперь перенесем все переменные в левую часть уравнения:
\[x^2 + y^2 = 3\]

Это уравнение представляет собой окружность в плоскости \(xy\) радиуса \(\sqrt{3}\) с центром в начале координат. Таким образом, взаимное расположение сферы и плоскости \(z = 1\) заключается в том, что сфера касается плоскости по этой окружности.

б) Плоскость, определенная уравнением \(z = 2\):

Аналогично предыдущему случаю, выразим координату \(z\) из уравнения сферы:
\[z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}\]

Подставим это выражение для \(z\) в уравнение плоскости:
\[\sqrt{4 - x^2 - y^2} = 2\]
В квадрате:
\[4 - x^2 - y^2 = 4\]
Упростим:
\[- x^2 - y^2 = 0\]

Из данного уравнения видно, что плоскость \(z = 2\) проходит через верхнюю половину сферы. Она является плоскостью, параллельной плоскости \(xy\) и находящейся на высоте \(z = 2\).

Таким образом, взаимное расположение сферы и плоскости \(z = 2\) заключается в том, что сфера находится полностью выше этой плоскости.

Надеюсь, что объяснение было понятным и разъясняет взаимное расположение данных геометрических объектов. Пожалуйста, сообщите мне, если у вас есть еще какие-либо вопросы!