Как переформулировать тригонометрическое выражение: tg3π5−tg23π30/1+tg3π5⋅tg23π30?

Krokodil

18

Для начала разложим значение тангенса угла $\frac{3\pi }{5}$. Формула для тангенса троугольника выглядит следующим образом:

$$\tan \theta =\frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилежащая сторона}}$$

Для угла $\frac{3\pi }{5}$ противоположная сторона будет равна длине стороны треугольника, противолежащей данному углу, а прилежащая сторона будет равна длине соседней стороны треугольника. Построим прямоугольный треугольник:

       .

      |\

    b | \ a

     |  \

     |   \

  c  |    \ 

     ------

Из треугольника видно, что противоположная сторона $b$ равна стороне треугольника, противолежащей углу $\frac{3\pi }{5}$, а прилежащая сторона $c$ равна длине соседней стороны треугольника. Теперь мы можем вычислить значения:

$$b=a\cdot \tan \left(\frac{3\pi }{5}\right)$$

Теперь посмотрим на значение тангенса угла $\frac{2\pi }{3}$, чтобы переформулировать рациональные выражения в задаче. Рациональное выражение $\tan \left(\frac{2\pi }{3}\right)$ делится нашим исходным выражением $\tan \left(\frac{3\pi }{5}\right)$. Если мы изначально представим это в виде дроби $\frac{\tan \left(\frac{2\pi }{3}\right)}{\tan \left(\frac{3\pi }{5}\right)}$, то получим следующее:

$$\frac{\tan \left(\frac{2\pi }{3}\right)}{\tan \left(\frac{3\pi }{5}\right)}=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{b}}=\frac{b\cdot b}{a\cdot c}$$

Теперь подставляем наши значения:

$$\frac{b\cdot b}{a\cdot c}=\frac{(a\cdot \tan \left(\frac{3\pi }{5}\right))\cdot (a\cdot \tan \left(\frac{3\pi }{5}\right))}{a\cdot c}=\frac{a^2\cdot {\tan }^2\left(\frac{3\pi }{5}\right)}{a\cdot c}=\frac{a\cdot {\tan }^2\left(\frac{3\pi }{5}\right)}{c}$$

Теперь возвращаемся к исходному выражению:

$$\frac{\tan \left(\frac{3\pi }{5}\right)-\frac{a\cdot {\tan }^2\left(\frac{3\pi }{5}\right)}{c}}{1+a\cdot \tan \left(\frac{3\pi }{5}\right)}$$

Таким образом, мы переформулировали исходное тригонометрическое выражение $\tan \left(\frac{3\pi }{5}\right)-\frac{\tan \left(\frac{2\pi }{3}\right)}{\tan \left(\frac{3\pi }{5}\right)}$ в виде $\frac{\tan \left(\frac{3\pi }{5}\right)-\frac{a\cdot {\tan }^2\left(\frac{3\pi }{5}\right)}{c}}{1+a\cdot \tan \left(\frac{3\pi }{5}\right)}$, где значения $a$, $b$ и $c$ соответствуют противоположным и прилежащим сторонам треугольника.