Как переформулировать тригонометрическое выражение: tg3π5−tg23π30/1+tg3π5⋅tg23π30?

Krokodil

18

Для начала разложим значение тангенса угла \(\frac{3\pi}{5}\). Формула для тангенса троугольника выглядит следующим образом:

\[
\tan{\theta} = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилежащая сторона}}
\]

Для угла \(\frac{3\pi}{5}\) противоположная сторона будет равна длине стороны треугольника, противолежащей данному углу, а прилежащая сторона будет равна длине соседней стороны треугольника. Построим прямоугольный треугольник:

       .

      |\

    b | \ a

     |  \

     |   \

  c  |    \ 

     ------

Из треугольника видно, что противоположная сторона \(b\) равна стороне треугольника, противолежащей углу \(\frac{3\pi}{5}\), а прилежащая сторона \(c\) равна длине соседней стороны треугольника. Теперь мы можем вычислить значения:

\[
b = a \cdot \tan{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}
\]

Теперь посмотрим на значение тангенса угла \(\frac{2\pi}{3}\), чтобы переформулировать рациональные выражения в задаче. Рациональное выражение \(\tan{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}\) делится нашим исходным выражением \(\tan{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}\). Если мы изначально представим это в виде дроби \(\frac{\tan{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}}{\tan{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}}\), то получим следующее:

\[
\frac{\tan{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}}{\tan{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}} = \frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{b}} = \frac{b \cdot b}{a \cdot c}
\]

Теперь подставляем наши значения:

\[
\frac{b \cdot b}{a \cdot c} = \frac{\left(a \cdot \tan{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}\right) \cdot \left(a \cdot \tan{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}\right)}{a \cdot c} = \frac{a^2 \cdot \tan^2{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}}{a \cdot c} = \frac{a \cdot \tan^2{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}}{c}
\]

Теперь возвращаемся к исходному выражению:

\[
\frac{\tan{\left(\frac{3\pi}{5}\right)} - \frac{a \cdot \tan^2{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}}{c}}{1 + a \cdot \tan{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}}
\]

Таким образом, мы переформулировали исходное тригонометрическое выражение \(\tan{\left(\frac{3\pi}{5}\right)} - \frac{\tan{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}}{\tan{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}}\) в виде \(\frac{\tan{\left(\frac{3\pi}{5}\right)} - \frac{a \cdot \tan^2{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}}{c}}{1 + a \cdot \tan{\left(\frac{3\pi}{5}\right)}}\), где значения \(a\), \(b\) и \(c\) соответствуют противоположным и прилежащим сторонам треугольника.