Как раскладывается вектор OM по векторам a, b, c, если дан треугольник ABC со средней точкой M и произвольной точкой

Olga_6285

62

Для решения данной задачи, нам необходимо раскладывать вектор \(\overrightarrow{OM}\) по векторам \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\) в трехмерном пространстве.

Для начала, построим векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AM}\) по заданным точкам.

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно получить вычитая из координат точки \(B\) координаты точки \(A\):
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\)

Аналогично, вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно получить вычитая из координат точки \(C\) координаты точки \(A\):
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\)

Теперь найдем вектор \(\overrightarrow{AM}\), вычитая из координат точки \(M\) координаты точки \(A\):
\(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}\)

Теперь мы имеем три заданных вектора: \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AM}\).

Чтобы раскладывать вектор \(\overrightarrow{OM}\) по векторам \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\), мы можем использовать координатный подход.

Представим вектор \(\overrightarrow{OM}\) в виде:
\(\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}\)

Для нахождения коэффициентов \(x\), \(y\) и \(z\), решим систему уравнений следующим образом:

\[
\begin{cases}
\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} \\
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} \\
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b}
\end{cases}
\]

Преобразуем систему уравнений, применив полученные ранее выражения для векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\[
\begin{cases}
\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} \\
\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
\end{cases}
\]

Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} \\
\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
\end{cases}
\]

Перепишем второе уравнение в виде:

\(\overrightarrow{AM} = 1\overrightarrow{a} + 1\overrightarrow{b} + 0\overrightarrow{c}\)

Теперь мы можем сравнить коэффициенты слева и справа от равенства:

\[
\begin{cases}
x = 1 \\
y = 1 \\
z = 0
\end{cases}
\]

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{OM}\) раскладывается по векторам \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\) следующим образом:

\(\overrightarrow{OM} = 1\overrightarrow{a} + 1\overrightarrow{b} + 0\overrightarrow{c}\)

Пояснение: Решая данную задачу, мы получили, что вектор \(\overrightarrow{OM}\) можно представить в виде суммы векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), а коэффициент перед вектором \(\overrightarrow{c}\) равен нулю. Это означает, что вектор \(\overrightarrow{OM}\) не имеет проекции на вектор \(\overrightarrow{c}\).