Как раскладывается вектор XY−→ по векторам DK−→− и DN−→−, если точка X делит сторону KD в отношении KX:XD=5:2, а точка

Yupiter

63

Для того чтобы раскладывать вектор \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{DK}\) и \(\overrightarrow{DN}\), нам понадобится использовать пропорции, указанные в условии задачи.

Давайте начнем с разложения вектора \(\overrightarrow{XY}\) по вектору \(\overrightarrow{DK}\). По условию, точка X делит сторону KD в отношении KX:XD=5:2.

Чтобы выразить вектор \(\overrightarrow{XY}\) через вектор \(\overrightarrow{DK}\), мы можем использовать следующую формулу:

\(\overrightarrow{XY} = \frac{5}{5+2} \cdot \overrightarrow{DK} + \frac{2}{5+2} \cdot \overrightarrow{XD}\)

Учитывая, что отношение KX:XD равно 5:2, мы можем заменить соответствующие векторы:

\(\overrightarrow{XY} = \frac{5}{5+2} \cdot \overrightarrow{DK} + \frac{2}{5+2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \overrightarrow{DK}\)

Теперь давайте упростим это выражение:

\(\overrightarrow{XY} = \frac{5}{7} \cdot \overrightarrow{DK} + \frac{2}{7} \cdot \overrightarrow{DK}\)

Теперь сложим эти два вектора, чтобы получить окончательный результат:

\(\overrightarrow{XY} = \left(\frac{5}{7} + \frac{2}{7}\right) \cdot \overrightarrow{DK}\)

\(\overrightarrow{XY} = \frac{7}{7} \cdot \overrightarrow{DK}\)

\(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{DK}\)

Таким образом, мы получаем, что вектор \(\overrightarrow{XY}\) равен вектору \(\overrightarrow{DK}\).

Теперь давайте проделаем аналогичные шаги для разложения вектора \(\overrightarrow{XY}\) по вектору \(\overrightarrow{DN}\). По условию, точка Y делит сторону DN в отношении DY:YN=5:2.

Процедура будет аналогична предыдущему случаю:

\(\overrightarrow{XY} = \frac{5}{5+2} \cdot \overrightarrow{DN} + \frac{2}{5+2} \cdot \overrightarrow{NY}\)

Учитывая, что отношение DY:YN равно 5:2, мы можем заменить соответствующие векторы:

\(\overrightarrow{XY} = \frac{5}{5+2} \cdot \overrightarrow{DN} + \frac{2}{5+2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \overrightarrow{DN}\)

Упростим это выражение:

\(\overrightarrow{XY} = \frac{5}{7} \cdot \overrightarrow{DN} + \frac{2}{7} \cdot \overrightarrow{DN}\)

Сложим эти два вектора, чтобы получить окончательный результат:

\(\overrightarrow{XY} = \left(\frac{5}{7} + \frac{2}{7}\right) \cdot \overrightarrow{DN}\)

\(\overrightarrow{XY} = \frac{7}{7} \cdot \overrightarrow{DN}\)

\(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{DN}\)

Таким образом, мы получаем, что вектор \(\overrightarrow{XY}\) равен вектору \(\overrightarrow{DN}\).

Итак, вектор \(\overrightarrow{XY}\) разлагается как \(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{DK} + \overrightarrow{DN}\).