Как решить данное неравенство: (36^x-5*6^x)^2+10*6^x

Загадочная_Луна

58

Хорошо, чтобы решить данное неравенство, нам потребуется несколько шагов. Давайте начнем.

Шаг 1: Приведение подобных слагаемых
Поскольку у нас есть квадратный член \((36^x-5\cdot6^x)^2\), то давайте проведем операции с ним, чтобы упростить неравенство. Раскроем скобки в квадрате и получим:
\[(36^x-5\cdot6^x)^2 = (36^x-5\cdot6^x)(36^x-5\cdot6^x)\]

Теперь применим формулу разности квадратов, которая гласит:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Применяя эту формулу к нашему выражению \((36^x-5\cdot6^x)(36^x-5\cdot6^x)\), мы получим:
\[(36^x-5\cdot6^x)^2 = (36^x)^2 - (5\cdot6^x)^2\]
\[(36^x-5\cdot6^x)^2 = 36^{2x} - 25\cdot6^{2x}\]

Шаг 2: Упрощение выражения
После применения формулы разности квадратов, нам нужно упростить оставшиеся члены в неравенстве. Поэтому получаем:
\((36^x - 5\cdot6^x)^2 + 10\cdot6^x = 36^{2x} - 25\cdot6^{2x} + 10\cdot6^x\)

Шаг 3: Замена переменной
Чтобы сделать наше выражение более читаемым, предлагаю ввести дополнительную переменную. Давайте заменим \(6^x\) на \(a\):
\((36^x - 5a)^2 + 10a\)

Теперь наша задача состоит в том, чтобы решить полученное выражение в зависимости от переменной \(a\).

Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Мы видим, что выражение \((36^x - 5a)^2 + 10a\) является квадратным трехчленом. Давайте разложим его на множители, применив формулу квадратного трехчлена:
\((b - a)^2 + cx = b^2 - 2ab + a^2 + cx\)

Теперь вернемся к нашему уравнению \((36^x - 5a)^2 + 10a\) и заменим \(b = 36^x\) и \(c = 5\):
\((b - a)^2 + cx = b^2 - 2ab + a^2 + cx\)
\((36^x - 5a)^2 + 10a = (36^x)^2 - 2 \cdot 36^x \cdot 5a + a^2 + 5 \cdot 10a\)
\((36^x - 5a)^2 + 10a = 36^{2x} - 10 \cdot 36^x a + a^2 + 50a\)

Шаг 5: Окончательное упрощение
Теперь у нас есть упрощенное выражение:
\(36^{2x} - 25 \cdot 6^{2x} + 10 \cdot 6^x\)

Мы рассмотрели каждый шаг решения неравенства. Я надеюсь, что это понятно и поможет вам решить задачу.