Как решить данное неравенство: (36^x-5*6^x)^2+10*6^x

Загадочная_Луна

58

Хорошо, чтобы решить данное неравенство, нам потребуется несколько шагов. Давайте начнем.

Шаг 1: Приведение подобных слагаемых
Поскольку у нас есть квадратный член $({36}^x-5\cdot 6^x{)}^2$, то давайте проведем операции с ним, чтобы упростить неравенство. Раскроем скобки в квадрате и получим:
$$({36}^x-5\cdot 6^x{)}^2=({36}^x-5\cdot 6^x)({36}^x-5\cdot 6^x)$$

Теперь применим формулу разности квадратов, которая гласит:
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Применяя эту формулу к нашему выражению $({36}^x-5\cdot 6^x)({36}^x-5\cdot 6^x)$, мы получим:
$$({36}^x-5\cdot 6^x{)}^2=({36}^x{)}^2-(5\cdot 6^x{)}^2$$
$$({36}^x-5\cdot 6^x{)}^2={36}^{2x}-25\cdot 6^{2x}$$

Шаг 2: Упрощение выражения
После применения формулы разности квадратов, нам нужно упростить оставшиеся члены в неравенстве. Поэтому получаем:
$({36}^x-5\cdot 6^x{)}^2+10\cdot 6^x={36}^{2x}-25\cdot 6^{2x}+10\cdot 6^x$

Шаг 3: Замена переменной
Чтобы сделать наше выражение более читаемым, предлагаю ввести дополнительную переменную. Давайте заменим $6^x$ на $a$:
$({36}^x-5a{)}^2+10a$

Теперь наша задача состоит в том, чтобы решить полученное выражение в зависимости от переменной $a$.

Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Мы видим, что выражение $({36}^x-5a{)}^2+10a$ является квадратным трехчленом. Давайте разложим его на множители, применив формулу квадратного трехчлена:
$(b-a{)}^2+cx=b^2-2ab+a^2+cx$

Теперь вернемся к нашему уравнению $({36}^x-5a{)}^2+10a$ и заменим $b={36}^x$ и $c=5$:
$(b-a{)}^2+cx=b^2-2ab+a^2+cx$
$({36}^x-5a{)}^2+10a=({36}^x{)}^2-2\cdot {36}^x\cdot 5a+a^2+5\cdot 10a$
$({36}^x-5a{)}^2+10a={36}^{2x}-10\cdot {36}^{x}a+a^2+50a$

Шаг 5: Окончательное упрощение
Теперь у нас есть упрощенное выражение:
${36}^{2x}-25\cdot 6^{2x}+10\cdot 6^x$

Мы рассмотрели каждый шаг решения неравенства. Я надеюсь, что это понятно и поможет вам решить задачу.