При каком объеме производства продукции будут достигнуты наибольшие средние издержки производства, если функция полных

Mark

32

Для решения этой задачи, нам нужно найти объем производства продукции \(x\), при котором достигаются наибольшие средние издержки производства. Для этого, нам нужно найти минимум функции средних издержек производства.

Средние издержки производства (СИ) определяются как отношение полных издержек производства (К) к объему производства продукции (x):

\[СИ = \frac{К}{x}\]

Известно, что функция полных издержек производства задана уравнением:

\[К = -x^3 + 3x^2 - 2.5x\]

Чтобы найти минимум СИ, необходимо найти значения x, где производная от К по x равна нулю:

\[\frac{dК}{dx} = 0\]

Давайте найдем производную функции К:

\[\frac{dК}{dx} = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 - 2.5x)\]

Продифференцируем каждый член функции по отдельности:

\[\frac{dК}{dx} = -3x^2 + 6x - 2.5\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение для нахождения точки минимума:

\[-3x^2 + 6x - 2.5 = 0\]

Мы можем решить это уравнение, используя квадратный корень или дискриминант. Подставив в дискриминант, получим \(D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(-3)(-2.5) = 84\). Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня.

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{84}}{2(-3)} \approx 0.620\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{84}}{2(-3)} \approx 3.380\]

После нахождения корней, чтобы определить, при каком объеме производства продукции будут достигнуты наибольшие средние издержки производства, необходимо проверить, являются ли это точки минимума или максимума. Для этого, мы можем рассмотреть вторую производную функции К.

Вычислим вторую производную:

\[\frac{d^2К}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x - 2.5)\]

\[\frac{d^2К}{dx^2} = -6x + 6\]

Подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) во вторую производную:

\[\frac{d^2К}{dx^2}(x_1) = -6(0.620) + 6 = -2.72 < 0\]

\[\frac{d^2К}{dx^2}(x_2) = -6(3.380) + 6 = -14.28 < 0\]

Так как вторая производная отрицательна в обоих корнях, это означает, что мы имеем дело с максимумами функции К.

Таким образом, при объеме производства продукции \(x_1 \approx 0.620\) и \(x_2 \approx 3.380\) будут достигнуты наибольшие средние издержки производства.