Как решить следующее неравенство: 1 + log4(х−7) ≤ log4(20−х)?

Tainstvennyy_Mag

36

Хорошо, давайте решим это неравенство шаг за шагом.

1. Сначала перенесём все логарифмы на одну сторону, чтобы получить одну логарифмическую функцию в левой части неравенства:

1 + log4(х−7) - log4(20−х) ≤ 0

2. Применим свойство логарифма, что \(\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)\), чтобы упростить выражение:

1 + \log_4 \left(\frac{x-7}{20-x}\right) ≤ 0

3. Теперь избавимся от логарифма, возведя обе части неравенства в степень 4:

4^{1 + \log_4 \left(\frac{x-7}{20-x}\right)} ≤ 4^0

4. По свойству логарифма \(a^{\log_a b} = b\), получаем:

4 \cdot \left(\frac{x-7}{20-x}\right) ≤ 1

5. Упростим это выражение:

\frac{4(x-7)}{20-x} ≤ 1

6. Разделим оба выражения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\frac{x-7}{20-x} ≤ \frac{1}{4}

7. Теперь рассмотрим два случая: когда знаменатель положительный и когда знаменатель отрицательный. Если знаменатель отрицательный, мы должны поменять направление неравенства:

a) Знаменатель положительный (20-x > 0):
x - 7 ≤ \frac{1}{4}(20 - x)

б) Знаменатель отрицательный (20-x < 0):
x - 7 ≥ \frac{1}{4}(20 - x)

8. Теперь решим каждое из уравнений:

a) В случае положительного знаменателя:
x - 7 ≤ \frac{20}{4} - \frac{x}{4}
x - 7 ≤ 5 - \frac{x}{4}
x + \frac{x}{4} ≤ 5 + 7
\frac{5x}{4} ≤ 12

Теперь умножим оба выражения на 4, чтобы избавиться от дроби:
5x ≤ 48

И, наконец, разделим оба выражения на 5:
x ≤ \frac{48}{5}

б) В случае отрицательного знаменателя:
x - 7 ≥ \frac{20}{4} - \frac{x}{4}
x - 7 ≥ 5 - \frac{x}{4}
x + \frac{x}{4} ≥ 5 + 7
\frac{5x}{4} ≥ 12

Теперь умножим оба выражения на 4, чтобы избавиться от дроби:
5x ≥ 48

Без решений в этом случае, так как получилось неравенство, которое равносильно \(x - 12 \ge 0\) или \(x \ge 12\), но мы знаем, что \(x - 7 \ge 0\) в этом случае. Таким образом, это неравенство не имеет допустимых значений.

9. Ответом будет интервал значений \(x\), который удовлетворяет условиям из пункта 8. В случае с положительным знаменателем: \(x \le \frac{48}{5}\). В случае с отрицательным знаменателем: нет допустимых значений \(x\).

Таким образом, ответом на данное неравенство будет интервал значений \(x\) от \(-\infty\) до \(\frac{48}{5}\] включительно.