Как решить треугольник с известными стороной b=5 и углами a=80 градусов и b=40 градусов?

Morskoy_Cvetok

58

Чтобы решить треугольник с известными стороной \(b = 5\) и углами \(\alpha = 80\) градусов и \(\beta = 40\) градусов, мы можем использовать Теорему синусов и Теорему косинусов.

Шаг 1: Найдем недостающий угол треугольника.
Сумма внутренних углов треугольника равна \(180\) градусов, поэтому третий угол \(\gamma\) можно найти, вычтя сумму уже известных углов из \(180\) градусов:
\[\gamma = 180 - \alpha - \beta = 180 - 80 - 40 = 60 \text{ градусов}.\]

Шаг 2: Рассчитаем длины других сторон треугольника.
Для этого используем Теорему синусов:
\[\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)},\]
где \(a\) - сторона треугольника, противолежащая углу \(\alpha\),
\(b\) - сторона треугольника, противолежащая углу \(\beta\),
\(c\) - сторона треугольника, противолежащая углу \(\gamma\).

Заменим известные значения и найдем недостающие стороны:
\[\frac{a}{\sin(80)} = \frac{5}{\sin(40)} = \frac{c}{\sin(60)}.\]

Для нахождения \(a\), перемножим обе части равенства на \(\sin(80)\):
\[a = \sin(80) \cdot \frac{5}{\sin(40)}.\]
Оценим результат:
\[a \approx 7.663 \text{ единиц}.\]

Аналогичным образом можно найти длину стороны \(c\) (сторона противолежащая углу \(\gamma\)):
\[c = \sin(80) \cdot \frac{5}{\sin(60)}.\]
Оценим результат:
\[c \approx 8.660 \text{ единиц}.\]

Шаг 3: Проверим, сошлось ли решение.
Мы должны проверить, что сумма длин двух сторон треугольника больше третьей стороны:
\[a + b > c,\]
\[b + c > a,\]
\[c + a > b.\]

Подставим известные значения:
\[7.663 + 5 > 8.660,\]
\[5 + 8.660 > 7.663,\]
\[8.660 + 7.663 > 5.\]

В каждом случае получили истинное утверждение, поэтому мы заключаем, что решение верно.

Таким образом, треугольник с известными стороной \(b = 5\) и углами \(\alpha = 80\) градусов и \(\beta = 40\) градусов имеет стороны \(a \approx 7.663\) и \(c \approx 8.660\).