Как решить уравнение 5sin^2x+7sinx−6=0? Какие значения x являются корнями уравнения? А) Как изменить выражение

Скользкий_Барон

57

Для решения данного уравнения \(5\sin^2 x + 7\sin x - 6 = 0\) мы можем использовать метод замены переменной. Давайте рассмотрим каждый шаг более подробно.

a) Для того, чтобы изменить выражение \(x = \pi - \arcsin 0.6 + 2\pi n\), нам необходимо заменить \(\arcsin 0.6\) на \(x\). Обратите внимание, что \(\arcsin\) является обратной функцией для синуса, поэтому мы получаем следующее:

\(\sin x = 0.6\)

b) Чтобы изменить выражение \(\arcsin(-2) + 2\pi n\), мы заменяем \(\arcsin(-2)\) на \(x\). Однако, так как арксинус определен только в диапазоне \([-1, 1]\), уравнение \(\sin x = -2\) не имеет решений. Таким образом, можно сказать, что это выражение не имеет значения.

c) Для изменения выражения \(\pi - \arcsin(-2) + 2\pi n\) мы заменяем \(\arcsin(-2)\) на \(x\). По аналогии с предыдущим пунктом, уравнение \(\sin x = -2\) не имеет решений, поэтому данное выражение также не имеет значения.

d) Чтобы изменить выражение \(x = \arcsin 0.6 + 2\pi n\), мы заменяем \(\arcsin 0.6\) на \(x\).

Теперь давайте решим уравнение \(5\sin^2 x + 7\sin x - 6 = 0\) и найдем значения \(x\) являющиеся его корнями.

Сначала мы можем факторизовать уравнение:

\((5\sin x - 3)(\sin x + 2) = 0\)

Отсюда получаем два уравнения:

\(5\sin x - 3 = 0\) или \(\sin x + 2 = 0\)

Далее решим каждое из уравнений:

a) \(5\sin x - 3 = 0\)

Добавим 3 к обеим сторонам уравнения:

\(5\sin x = 3\)

Теперь разделим обе стороны на 5:

\(\sin x = \frac{3}{5}\)

Таким образом, \(\sin x = 0.6\)

b) \(\sin x + 2 = 0\)

Вычтем 2 из обеих сторон уравнения:

\(\sin x = -2\)

Однако, как я уже упоминал, уравнение \(\sin x = -2\) не имеет решений.

Таким образом, корнем уравнения \(5\sin^2 x + 7\sin x - 6 = 0\) является значение \(\sin x = 0.6\). Можно выразить это в виде \(x = \arcsin 0.6 + 2\pi n\), где \(n\) - любое целое число.

Ответ на задачу: Значения \(x\), являющиеся корнями уравнения \(5\sin^2 x + 7\sin x - 6 = 0\), представляются в виде \(x = \arcsin 0.6 + 2\pi n\), где \(n\) - любое целое число.