Какие значения коэффициента c удовлетворяют условию, при которых прямая x+y+c=0 касается окружности x2+y2=200

Raduzhnyy_Mir

58

Для начала, давайте определим, что такое касание прямой и окружности. Прямая x + y + c = 0 будет касаться окружности x^2 + y^2 = 200, если они имеют ровно одну общую точку.

Чтобы найти это общую точку, мы можем решить систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения окружности. Давайте подставим выражение для y из уравнения прямой в уравнение окружности и найдем решение.

Вначале заметим, что y = -x - c, поскольку x + y + c = 0. Подставим это значение y в уравнение окружности:

x^2 + (-x - c)^2 = 200

Раскроем скобки и упростим:

x^2 + (x^2 + 2xc + c^2) = 200

Комбинируя подобные члены, получим:

2x^2 + 2xc + c^2 = 200

Теперь приведем данное уравнение к каноническому виду, чтобы увидеть значения коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку.

2x^2 + 2xc + c^2 - 200 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, и мы хотим найти значения c для которых у него есть один корень.

Для того чтобы квадратное уравнение имело только один корень, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется как D = b^2 - 4ac.

Применяя это к нашему уравнению, получим:

D = (2c)^2 - 4(2)(c^2 - 200)
= 4c^2 - 8(c^2 - 200)
= 4c^2 - 8c^2 + 1600
= -4c^2 + 1600

Теперь, чтобы найти значения c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку, мы должны приравнять дискриминант D к нулю и решить полученное уравнение:

-4c^2 + 1600 = 0

Перенесем 1600 на другую сторону:

-4c^2 = -1600

Разделим обе стороны на -4:

c^2 = 400

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получим:

c = ±20

Таким образом, значения коэффициента c, при которых прямая x + y + c = 0 касается окружности x^2 + y^2 = 200 и они имеют одну общую точку, равны c = 20 и c = -20.