Какова скорость материальной точки в момент времени t=6 секунд при движении по закону x(t)= 1/(2t^3 - 3t^2 + 2t) (где

Vasilisa

54

Для того чтобы найти скорость материальной точки в момент времени \(t = 6\) секунд, мы должны использовать определение скорости как производной от функции \(x(t)\), где \(x(t)\) - функция, задающая закон движения точки.

Сначала найдем производную функции \(x(t)\). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования по сумме и разности функций. Формула для этого правила выглядит следующим образом:

\[(f(t) + g(t))" = f"(t) + g"(t)\]

В данной задаче у нас только одна функция, поэтому применим правило дифференцирования по правилу суммы:

\[\left(\frac{1}{2t^3 - 3t^2 + 2t}\right)" = \frac{(2t^3 - 3t^2 + 2t)"}{(2t^3 - 3t^2 + 2t)^2}\]

Для нахождения производной функции \(2t^3 - 3t^2 + 2t\) воспользуемся правилом дифференцирования для многочленов. Формула выглядит следующим образом:

\[(ax^n)" = anx^{n-1}\]

Применим это правило к каждому члену многочлена:

\[(2t^3)" - (3t^2)" + (2t)" = 6t^2 - 6t + 2\]

Теперь подставим найденную производную в формулу для производной функции \(x(t)\):

\[\frac{(2t^3 - 3t^2 + 2t)"}{(2t^3 - 3t^2 + 2t)^2} = \frac{6t^2 - 6t + 2}{(2t^3 - 3t^2 + 2t)^2}\]

Таким образом, мы нашли производную функции \(x(t)\).

Для нахождения скорости материальной точки в момент времени \(t = 6\) секунд, подставим \(t = 6\) в найденную производную функцию:

\[\frac{6 \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 2}{(2 \cdot 6^3 - 3 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6)^2}\]

Вычисляем числитель:

\(6 \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 2 = 216 - 36 + 2 = 182\)

Вычисляем знаменатель:

\(2 \cdot 6^3 - 3 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6 = 432 - 108 + 12 = 336\)

Теперь подставляем полученные значения:

\[\frac{182}{336^2}\]

Простое упрощение этой дроби с использованием общего делителя даёт нам окончательный ответ:

\[\frac{91}{168^2}\]

Таким образом, скорость материальной точки в момент времени \(t = 6\) секунд составляет \(\frac{91}{168^2}\) метра в секунду.

Мы использовали правила дифференцирования и подставили конкретное значение \(t\) в производную функцию, чтобы найти ответ.