Как решить уравнение: f (x)/g (x)=0, если f(x)=2/3x^3-18x, g(x)=2 * корень?

Скоростная_Бабочка

70

Хорошо, давайте решим это уравнение пошагово.

У нас дано уравнение \(\frac{{f""(x)}}{{g""(x)}} = 0\), где \(f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 18x\) и \(g(x) = 2\sqrt{x}\).

Первым шагом мы должны найти вторые производные функций \(f(x)\) и \(g(x)\).

Для функции \(f(x)\):
\(f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}(\frac{2}{3}x^3 - 18x)\)
Применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:
\(f"(x) = \frac{d}{dx}(\frac{2}{3}x^3) - \frac{d}{dx}(18x)\)
\(f"(x) = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 18 \cdot 1\)
\(f"(x) = 2x^2 - 18\)

Теперь найдем вторую производную \(f""(x)\):
\(f""(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 18)\)
Применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:
\(f""(x) = \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(18)\)
\(f""(x) = 4x\)

Теперь найдем вторую производную функции \(g(x)\):
\(g"(x) = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x})\)
Применим правило дифференцирования для корня:
\(g"(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(g"(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\)

Следовательно, \(g""(x)\) будет второй производной от \(g"(x)\):
\(g""(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{\sqrt{x}})\)
Применим правило дифференцирования для обратной функции:
\(g""(x) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\)

Теперь, зная \(f""(x) = 4x\) и \(g""(x) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\), мы можем вернуться к исходному уравнению и решить его.

\(\frac{{f""(x)}}{{g""(x)}} = 0\)
Подставляем значения производных:
\(\frac{{4x}}{{-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}}} = 0\)
Умножаем обе части уравнения на \(-2\sqrt{x}\) для упрощения:
\(-8x^{\frac{1}{2}} = 0\)
Теперь избавляемся от знака корня:
\(8\sqrt{x} = 0\)
Деля обе части на 8:
\(\sqrt{x} = 0\)

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:
\((\sqrt{x})^2 = 0^2\)
\(x = 0\)

Итак, уравнение \(f""(x)/g""(x) = 0\) имеет одно решение, которым является \(x = 0\).