Как решить задачу 4,10, где требуется дать условие задачи, доказать и представить доказательство?

Solnechnaya_Luna

49

Задача 4,10: Доказательство утверждения о двойной подстановке.

Условие задачи:
Дано: А, В, С – конечные множества.
Необходимо доказать, что |(А х В) х С| = |А х (В х С)|.

Доказательство:
Чтобы доказать равенство |(А х В) х С| = |А х (В х С)|, необходимо найти биекцию между множествами (А х В) х С и А х (В х С), то есть установить взаимно-однозначное соответствие между элементами этих двух множеств.

Разберемся с левой частью уравнения |(А х В) х С|. Множество (А х В) х С представляет собой множество, состоящее из упорядоченных троек (а, b, c) таких, что а принадлежит множеству А, b принадлежит множеству В, а с принадлежит множеству С. Обозначим это множество как X.

Аналогично, правая часть уравнения |А х (В х С)| представляет собой множество, состоящее из упорядоченных троек (а, (b, c)) таких, что а принадлежит множеству А, b принадлежит множеству В, а с принадлежит множеству С. Обозначим это множество как Y.

Теперь найдем соответствие между элементами множеств X и Y. Для этого возьмем произвольный элемент (а, b, c) из множества X. Возьмем элементы b и c, и "упакуем" их вместе как один элемент (b, c). Получим элемент (а, (b, c)), который является элементом множества Y. Таким образом, мы установили соответствие между элементами множеств X и Y.

Теперь покажем, что это соответствие является взаимно-однозначным. Пусть у нас есть два различных элемента (а, b, c) и (а", b", c") из множества X, такие что (а, b, c) ≠ (а", b", c"). Поскольку элементы b и c полностью определяются элементами (а, b, c) и (а", b", c") соответственно, то b ≠ b" и c ≠ c". Из этого следует, что (b, c) ≠ (b", c") и, следовательно, (а, (b, c)) ≠ (а", (b", c")). Таким образом, мы доказали, что соответствие между элементами множеств X и Y является взаимно-однозначным.

Таким образом, мы нашли биекцию между множеством X = |(А х В) х С| и множеством Y = |А х (В х С)|. Следовательно, |(А х В) х С| = |А х (В х С)|.

Доказательство завершено.

В данном решении мы подробно разобрали условие задачи и пошагово продемонстрировали доказательство. Теперь становится понятно, что мощности множеств (А х В) х С и А х (В х С) равны.