Какова должна быть длина третьего ребра второго прямоугольного параллелепипеда, чтобы у него была такая же площадь

Dimon

15

Для решения данной задачи, нам необходимо учесть, что площадь поверхности параллелепипеда определяется суммой площадей его всех шести граней. Рассмотрим первый параллелепипед с известными значениями длин двух его ребер.

Обозначим длину первого ребра как \(a\), длину второго ребра как \(b\) и длину третьего ребра как \(c_1\). Пусть площадь поверхности первого параллелепипеда равна \(S_1\).

Так как параллелепипед имеет две пары параллельных граней, сумма площадей его двух оснований будет равна \(2ab\). Плюс, площади боковых граней равны \(2ac_1 + 2bc_1 = 2c_1(a+b)\). Таким образом, площадь поверхности первого параллелепипеда можно выразить следующей формулой:

\[S_1 = 2ab + 2c_1(a+b)\]

Теперь перейдем ко второму параллелепипеду, у которого длины двух ребер также равны \(a\) и \(b\), а третье ребро будет обозначено как \(c_2\). Мы хотим, чтобы площадь поверхности второго параллелепипеда была такой же, как площадь поверхности первого.

Таким образом, уравниваем формулы для площадей поверхностей:

\[2ab + 2c_1(a+b) = 2ab + 2c_2(a+b)\]

Для дальнейшего решения упростим уравнение, деля обе части на \(2(a+b)\):

\[c_1 = c_2\]

Отсюда следует, что длина третьего ребра второго параллелепипеда должна быть такой же, как длина третьего ребра первого параллелепипеда, чтобы площади поверхностей этих параллелепипедов совпадали.

Таким образом, чтобы у второго параллелепипеда была такая же площадь поверхности, как у первого, длина третьего ребра должна быть равна \(c_1\), где \(c_1\) - длина третьего ребра первого параллелепипеда.