Как составить статистический ряд, построить полигон и кумуляту, а также вычислить статистические характеристики

Kuznec_1433

4

Чтобы составить статистический ряд и вычислить статистические характеристики для данной дискретной случайной величины, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Составление статистического ряда.
Сначала составим статистический ряд, который позволит нам отразить все возможные значения случайной величины и их частоты. В нашем случае значение случайной величины - это количество наблюдений, а частота - это количество раз, сколько встречается каждое значение в выборке.

Вот как будет выглядеть наш статистический ряд:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Значение} & \text{Частота} \\
\hline
6 & 1 \\
7 & 3 \\
8 & 5 \\
9 & 7 \\
10 & 5 \\
11 & 6 \\
12 & 3 \\
13 & 3 \\
14 & 2 \\
\hline
\end{array}
\]

Шаг 2: Построение полигона.
Полигон - это график, на котором по оси абсцисс откладываются значения случайной величины, а по оси ординат - их частоты. Построение полигона поможет визуализировать распределение данных в выборке.

Чтобы построить полигон, соединим точки, соответствующие значениям случайной величины, прямыми линиями.

Шаг 3: Построение кумуляты.
Кумулята - это график, на котором по оси абсцисс откладываются значения случайной величины, а по оси ординат - их кумулятивные частоты. Построение кумуляты поможет нам визуализировать накопленную информацию о распределении данных в выборке.

Чтобы построить кумулятивную кривую, соединим точки, соответствующие значениям случайной величины, прямыми линиями, начиная с нулевой точки и добавляя частоты для каждого значения случайной величины.

Шаг 4: Вычисление статистических характеристик.
Теперь, имея статистический ряд, можно вычислить некоторые статистические характеристики, такие как среднее арифметическое, медиана, мода, дисперсия и стандартное отклонение.

Среднее арифметическое - это сумма всех значений случайной величины, деленная на их количество. В нашем случае:

\[
\text{Среднее арифметическое} = \frac{10 + 13 + 10 + 9 + 9 + 12 + 12 + 6 + 7 + 9 + 7 + 8 + 8 + 9 + 13 + 14 + 9 + 11 + 9 + 8 + 10 + 10 + 11 + 11 + 11 + 12 + 8 + 7 + 9 + 10 + 14 + 13 + 8 + 8 + 9 + 10 + 11 + 11}{40} = 9.525
\]

Медиана - это значение, которое разделяет выборку на две равные части. Для этого нужно упорядочить значения случайной величины по возрастанию и выбрать среднее из двух средних значений. В нашем случае, когда выборка содержит 40 наблюдений, медианой будет значение, расположенное между 20-м и 21-м значениями. В упорядоченной выборке значение, лежащее между 20-м и 21-м наблюдениями, равно 10.

Мода - это значение, которое встречается наиболее часто в выборке. В нашем случае, значение 9 имеет наибольшую частоту, поэтому модой будет 9.

Дисперсия - это мера изменчивости значений случайной величины относительно их среднего значения. Для ее вычисления сначала необходимо вычесть из каждого значения случайной величины среднее арифметическое, возвести полученные разности в квадрат, сложить их и разделить на количество наблюдений. В нашем случае:

\[
\text{Дисперсия} = \frac{(10-9.525)^2 + (13-9.525)^2 + \ldots + (11-9.525)^2}{40} = 3.991
\]

Стандартное отклонение - это корень из дисперсии. В нашем случае, стандартное отклонение равно \(\sqrt{3.991} \approx 1.998\).

Таким образом, мы составили статистический ряд, построили полигон и кумуляту, и вычислили основные статистические характеристики для данной дискретной случайной величины.