Как связаны результаты умножения векторов самих векторов?

Boris

9

При умножении векторов самих на себя возможны два варианта: скалярное произведение и векторное произведение.

1. Скалярное произведение:
Скалярное (также называемое скалярным или внутренним) произведение двух векторов определяется следующим образом: умножаем соответствующие компоненты векторов и складываем полученные произведения. Результатом будет число (скаляр), не являющееся вектором. Скалярное произведение также может быть записано как произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Пусть у нас есть два вектора \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\) в трехмерном пространстве:

\[\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\]
\[\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\]

Тогда скалярное произведение векторов \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\), обозначаемое как \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\), вычисляется следующим образом:

\[\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z\]

Таким образом, результат скалярного произведения векторов будет числом.

2. Векторное произведение:
Векторное (также называемое векторным или внешним) произведение двух векторов определяется следующим образом: произведение длин векторов на синус угла между ними и ориентировано перпендикулярно плоскости, в которой лежат исходные векторы. Результатом будет новый вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Векторное произведение обозначается как \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\).

Пусть у нас есть два вектора \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\) в трехмерном пространстве:

\[\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\]
\[\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\]

Тогда векторное произведение векторов \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\) можно выразить с помощью определителя следующим образом:

\[\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
A_x & A_y & A_z \\
B_x & B_y & B_z \\
\end{vmatrix}\]

где \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{k}\) - базисные единичные векторы, указывающие направление осей координат.

Вычислив определитель, получим новый вектор \(\mathbf{C} = (C_x, C_y, C_z)\), который будет результатом векторного произведения. Компоненты нового вектора вычисляются следующим образом:

\[C_x = A_y \cdot B_z - A_z \cdot B_y\]
\[C_y = A_z \cdot B_x - A_x \cdot B_z\]
\[C_z = A_x \cdot B_y - A_y \cdot B_x\]

Таким образом, результат векторного произведения будет новым вектором, перпендикулярным плоскости, содержащей исходные векторы.