Как вычислить косинус угла между векторами, определяемыми вершинами треугольника: м(-1;-5), к(3;-4) и р(-9;1)?

Карина_5390

60

Чтобы вычислить косинус угла между векторами, определяемыми вершинами треугольника, нужно сначала вычислить сами векторы, а затем использовать формулу для вычисления косинуса угла между векторами.

1. Вычисление векторов:
- Вектор м: \(\vec{m} = (x_m, y_m) = (-1, -5)\).
- Вектор к: \(\vec{k} = (x_k, y_k) = (3, -4)\).
- Вектор р: \(\vec{p} = (x_p, y_p) = (-9, 1)\).

2. Вычисление разностей координат векторов:
- Для вектора \(\vec{mk}\): \(\vec{mk} = \vec{k} - \vec{m} = (x_k - x_m, y_k - y_m) = (3 - -1, -4 - -5) = (4, 1)\).
- Для вектора \(\vec{mp}\): \(\vec{mp} = \vec{р} - \vec{m} = (x_p - x_m, y_p - y_m) = (-9 - -1, 1 - -5) = (-8, 6)\).

3. Вычисление скалярного произведения векторов:
- Скалярное произведение векторов \(\vec{mk}\) и \(\vec{mp}\) равно: \(\vec{mk} \cdot \vec{mp} = (4 \cdot -8) + (1 \cdot 6) = -32 + 6 = -26\).

4. Вычисление длин векторов:
- Длина вектора \(\vec{mk}\) равна: \(|\vec{mk}| = \sqrt{(4^2) + (1^2)} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\).
- Длина вектора \(\vec{mp}\) равна: \(|\vec{mp}| = \sqrt{(-8^2) + (6^2)} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\).

5. Вычисление косинуса угла:
- Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: \(\cos{\theta} = \frac{\vec{mk} \cdot \vec{mp}}{|\vec{mk}| \cdot |\vec{mp}|}\).
- Подставляем значения в формулу: \(\cos{\theta} = \frac{-26}{\sqrt{17} \cdot 10}\).
- Упрощаем выражение: \(\cos{\theta} = \frac{-26}{10 \sqrt{17}} = \frac{-13}{5 \sqrt{17}}\).

Таким образом, косинус угла между векторами \(\vec{mk}\) и \(\vec{mp}\), определяемыми вершинами треугольника, равен \(\frac{-13}{5 \sqrt{17}}\).